or
![{\displaystyle {\frac {x}{y}}-{\frac {m'}{n'}}={\frac {xn'-ym'}{yn'}}\quad {\text{et}}\quad \mathrm {\frac {M'}{N'}} -{\frac {m'}{n'}}={\frac {1}{\mathrm {N} 'n'}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96dae82db838770c29302cfa6caeba36918f2de0)
donc, à cause de
on aura
![{\displaystyle {\frac {x}{y}}-{\frac {m'}{n'}}>(xn'-ym')\left(\mathrm {\frac {M'}{N'}} -{\frac {m'}{n'}}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f1fbaf4c0e5f57b5283163615ffbc325cb6399c)
or je dis que
doit nécessairement être égal à
en effet, puisque
on aura d’abord
![{\displaystyle xn'-ym'>0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d1981b8c190c47a84d24e42b54e76d1bf8f928d)
donc
![{\displaystyle xn'-ym'=1,\quad {\text{ou}}\quad =2,\quad {\text{ou}}\quad >2\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78dfea1d92b901915d8a92530a3060c3c2fe5c08)
mais si
ou
on aura pour lors
![{\displaystyle {\frac {x}{y}}-{\frac {m'}{n'}}>2\left(\mathrm {\frac {M'}{N'}} -{\frac {m'}{n'}}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd6a879c4db157f71a6c6488cf225d2f1de5f2db)
et comme
se trouve entre
et
(no 1), elle se trouvera aussi nécessairement entre
et
mais beaucoup plus près de
que de
parce que
donc
se trouvera aussi entre
et
mais plus près de
que de
donc on aura
![{\displaystyle {\frac {x^{2}}{y^{2}}}-a>a-{\frac {m'^{2}}{n'^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/446be0adc3133ae3fc4fafbd9c3b7485b545e009)
savoir, à cause de ![{\displaystyle x^{2}-ay^{2}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87882183a4f4859e9ed4e59147adaff5d2991b88)
![{\displaystyle {\frac {1}{y^{2}}}>{\frac {an'^{2}-m'^{2}}{n'^{2}}},\quad {\text{ou bien}}\quad an'^{2}-m'^{2}<{\frac {n'^{2}}{y^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c94eaccbff2fb198e9e37bc82f905f835348eca7)
mais
donc
et à plus forte raison
ce qui ne peut être, à cause que
est toujours nécessairement un