nombre entier négatif (no 2), et par conséquent
un nombre entier positif. Donc il faudra nécessairement que l’on ait
![{\displaystyle xn'-ym'=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ce57e56433a6a4f33a3cc95ae81aa82685df412)
On aura donc
et comme on a aussi (no 1)
on aura
![{\displaystyle (\mathrm {M} '-x)n'-(\mathrm {N} '-y)m'=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6330fd5cc7d1bca97b6b73ac58bcefb7d529769a)
savoir
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {M} '-x}{\mathrm {N} '-y}}={\frac {m'}{n'}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b25b4762696fe24031e65ac6a0c96c098e0f22d)
donc, prenant un nombre quelconque entier
on aura
![{\displaystyle \mathrm {M} '-x=m'z,\qquad \mathrm {N} '-y=n'z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d63bec024d7168331c852b1cd9af8cb9a321d93e)
et de là
![{\displaystyle x=\mathrm {M} '-m'z\quad {\text{et}}\quad y=\mathrm {N} '-n'z\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0a351708c63fceb53572309548ddd23c340b609)
donc, substituant ces valeurs dans l’équation
on aura
![{\displaystyle M'^{2}-aN'^{2}-2(M'm'-aN'n')z+\left(m'^{2}-an'^{2}\right)z^{2}=1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51e4ce2a1b737489cd56e6ed2b16ff2ca8a8417c)
or
est un nombre positif,
est un nombre négatif (no 2), et je dis que
est un nombre négatif ; en effet, comme
et
on aura
![{\displaystyle \mathrm {\frac {M'}{N'}} ={\sqrt {a}}+\Gamma \quad {\text{et}}\quad {\frac {m'}{n'}}={\sqrt {a}}-\gamma ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/423722e594e5deffb616d3aad42fbdc23e1c0ed7)
et
sera
à cause que
doit approcher plus de
que
(no 1) ; donc
![{\displaystyle \mathrm {M} 'm'-a\mathrm {N} 'n'=\mathrm {N} 'n'\left({\frac {\mathrm {M} 'm'}{\mathrm {N} 'n'}}-a\right)=-\mathrm {N} 'n'\left[(\gamma -\Gamma ){\sqrt {a}}+\Gamma \gamma \right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30e14924b1b858da8c723cde5a7a939eca074896)
Donc, si l’on fait
![{\displaystyle \mathrm {M} '^{2}-a\mathrm {N} '^{2}=\mathrm {A} ,\quad \mathrm {M} 'm'-a\mathrm {N} 'n'=-\mathrm {B} ,\quad m'^{2}-an'^{2}=-\mathrm {C} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/276a80bc8d4061c1f8a6ce300f73800078e808ca)