exprimeront des nombres positifs, et l’on aura
![{\displaystyle \mathrm {A} +2\mathrm {B} z-\mathrm {C} z^{2}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97c809b0c289581eb09be31afa5c4da04abcafab)
Soit, en général,
en sorte que
![{\displaystyle x^{2}-ay^{2}=u\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b255cf46cd63a9dd33a5b4de141462413be8229d)
en regardant
comme une quantité variable qui commence par zéro, et qui augmente à l’infini, on aura d’abord, lorsque
ensuite
augmentera jusqu’à ce que
après quoi
diminuera continuellement jusqu’à devenir infini négatif. Donc, si l’on donne à
une valeur quelconque
telle que la valeur correspondante de
soit positive et égale à
il est clair que toutes les autres valeurs de
comprises entre
et
donneront pour
des valeurs positives et plus grandes que la plus petite des deux quantités
et
qui répondent à
et à ![{\displaystyle z=\mathrm {Z} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82199ee5ab079bde97f6095fced552f5e3df1dde)
Or nous avons trouvé
![{\displaystyle x=\mathrm {M} '-m'z\quad {\text{et}}\quad y=\mathrm {N} '-n'z\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0a351708c63fceb53572309548ddd23c340b609)
donc : 1o comme
on aura
2o on a, par le no 1,
![{\displaystyle \mathrm {M} '=q'''m'+\mathrm {M} \quad {\text{et}}\quad \mathrm {N} '=q'''n'+\mathrm {N} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c613094ce3eca25e2d7163fe568d1196dd62a0b)
donc
![{\displaystyle x=(q'''-z)m'+\mathrm {M} \quad {\text{et}}\quad y=(q'''-z)+\mathrm {N} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1aa5e1524d1031ae854028067707421985ede63)
donc, puisque
il faudra que
ainsi les limites de
seront
et
c’est-à-dire que
sera comprise entre
et
mais, en faisant
on a
![{\displaystyle u=\mathrm {A} =\mathrm {M} '^{2}-a\mathrm {N} '^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ed3bb4368ec37bf0d7184786d28917f153b26bc)
et, en faisant
on a
et par conséquent
![{\displaystyle u=x^{2}-ay^{2}=\mathrm {M} ^{2}-a\mathrm {N} ^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/211c6622afc5152f80e24fca86ae7e3c3234a224)
donc, en donnant à
des valeurs intermédiaires, les valeurs correspondantes de
savoir de
seront toutes plus grandes que la plus petite de ces deux quantités
et
mais l’une et l’autre