effet de la forme de
et qu’on ait trouvé en même temps deux nombres
et
tels, que
en ce cas le problème sera résoluble eh nombres, et il pourra même l’être de plusieurs manières ; c’est ce que nous allons examiner.
Il est d’abord clair que, puisque
![{\displaystyle \mathrm {R} =\mathrm {P} ^{2}-a\mathrm {Q} ^{2}=t^{2}-au^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce3d7f78a8b7496d564426814193d982ca3db357)
il n’y aura qu’à supposer
et
ce qui donnera
![{\displaystyle a+b=\mathrm {P} ,\qquad 2\alpha x+\beta y+\delta =\mathrm {Q} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77ec3172535754c80f46462bf358b1a79a8d0401)
et, par conséquent,
![{\displaystyle y={\frac {\mathrm {P} -b}{a}},\qquad x={\frac {\mathrm {Q} -\delta }{2\alpha }}-{\frac {\beta (\mathrm {P} -b)}{2\alpha a}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/702ec2baf3469b022fee839df0dba58d76f372d5)
Or je remarque :
1o Que les nombres
et
peuvent être pris positivement ou négativement à volonté, ce qui donnera quatre solutions différentes ;
2o Si le nombre
est le produit de deux ou de plusieurs nombres de la forme de
il sera aussi plusieurs fois de cette même forme ; de sorte qu’on pourra trouver différentes valeurs de
et de
En effet, si
est le produit de deux facteurs tels que
et
on aura (no 5)
![{\displaystyle \mathrm {R} =\left(pp'\pm aqq'\right)^{2}-a(pq'\pm qp')^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48376d53f263205b985ff5c8b337645982816684)
ainsi on pourra supposer
![{\displaystyle \mathrm {P} =pp'+aqq'\quad {\text{et}}\quad \mathrm {Q} =pq'+qp',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53d540e957e4d0dbdc8a712dc52fee378095ad18)
ou
![{\displaystyle \mathrm {P} =pp'-aqq'\quad {\text{et}}\quad \mathrm {Q} =pq'-qp'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e030379c3fc57ea14d50e07e35a8a9e318950663)
En général, si
est exprimé par
étant des nombres de la forme de
mais qui ne soient qu’une fois de cette forme, le nombre
sera (comme je l’ai démontré ailleurs) de la même forme autant de fois, ni plus ni moins, qu’il y a d’unités dans la moitié de ce nombre
s’il est pair, ou dans la moitié de ce même nombre augmenté de l’unité s’il, est impair. Ainsi les quantités
et
auront chacune autant de valeurs dif-