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férentes qu’il y a d’unités dans ${\frac {(m+1)(n+1)(r+1)(s+1)\ldots }{2}}$ ou dans ${\frac {(m+1)(n+1)(r+1)(s+1)\ldots +1}{2}},$ et chacune de ces valeurs fournira par conséquent quatre solutions du problème.

29. Examinons séparément le cas où $a$ est un nombre positif, et celui où $a$ est un nombre négatif.

1^o Soit $a$ un nombre négatif $=-e,$ en sorte que $e$ soit positif, et la forme du nombre $\mathrm {R}$ sera $\mathrm {P} ^{2}+e\mathrm {Q} ^{2}\,;$ donc, puisqu’il est impossible que l’unité soit de cette forme, le nombre des facteurs $\mathrm {A,B,C,D} ,\ldots$ (numéro précédent) qui sont supposés être de cette forme sera nécessairement limité ; donc le nombre des valeurs de $\mathrm {P}$ et de $\mathrm {Q}$ le sera aussi ; par conséquent le problème ne pourra avoir qu’un certain nombre de solutions rationnelles, qu’il sera aisé de trouver par la méthode précédente, et s’il arrive qu’aucune de ces solutions ne donne des nombres entiers pour les valeurs des inconnues $x$ et $y,$ on en devra conclure que le problème n’admet point de solution en entiers.

2^o Supposons que $a$ soit un nombre positif ; dans ce cas, comme l’unité est toujours de la forme de $\mathrm {P} ^{2}-a\mathrm {Q} ^{2}$ quel que soit le nombre $a,$ il est clair que le nombre des facteurs de $\mathrm {R}$ de la forme dont il s’agit sera infini, parce qu’on peut toujours regarder le nombre $\mathrm {R}$ comme multiplié par une puissance quelconque de l’unité ; ainsi, ou le problème n’admettra point de solution du tout, ou bien il en admettra nécessairement une infinité.

Pour comprendre toutes ces solutions dans deux formules générales, soient $p'$ et $q'$ deux nombres tels, que $p'^{2}-aq'^{2}=1,$ et, multipliant cette équation par l’équation $\mathrm {P} ^{2}-a\mathrm {Q} ^{2}=\mathrm {R} ,$ on aura

$(\mathrm {P} p'\pm a\mathrm {Q} q')^{2}-a(\mathrm {P} q'\pm \mathrm {Q} p')^{2}-=\mathrm {R} \,;$

d’où l’on voit qu’ayant trouvé deux nombres $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ qui satisfassent à l’équation $\mathrm {P} ^{2}-a\mathrm {Q} ^{2}=\mathrm {R} ,$ on pourra mettre dans les formules du n^o 28 $\mathrm {P} p'\pm a\mathrm {Q} q'$ à la place de $\mathrm {P} ,$ et $\mathrm {P} q'\pm \mathrm {Q} p'$ à la place de $\mathrm {Q} ,$ ce qui donnera en faisant abstraction de l’ambiguïté des signes, à cause que les nombres