Pour cela, supposons que
et
représentent la longitude et la latitude géocentrique de l’observation intermédiaire ; si l’on substitue dans les équations (k) du numéro précédent, au lieu de
leurs valeurs
et
elles donneront
et
en fonction de
et
, de leurs premières différences et des quantités connues. Si l’on différentie ces fonctions, on aura ![{\displaystyle \left({\frac {d^{3}\rho }{dt^{3}}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c48183e42054d87835efaa5e7893014a21a9f3cd)
et
en fonction de
et de leurs premières et secondes différences. On pourra en éliminer la seconde différence de
au moyen de sa valeur, et sa première différence au moyen de l’équation (2) du numéro précédent. En continuant de différentier successivement les valeurs de
et en éliminant les différences de
et de
supérieures aux secondes différences, et toutes les différences de
on aura les valeurs de ![{\displaystyle \left({\frac {d^{3}\alpha }{dt^{3}}}\right),\left({\frac {d^{4}\alpha }{dt^{4}}}\right),\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24fc601bbc0d8b204182c55e4cda7768f2872c8f)
en fonction de ![{\displaystyle \rho ,\alpha ,\left({\frac {d\alpha }{dt}}\right),\left({\frac {d^{2}\alpha }{dt^{2}}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f56a45a313e08f70e7f3a69c4ec9aae7b84ec4fe)
![{\displaystyle \theta ,\left({\frac {d\theta }{dt}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6c6739c0b39a5372ed16d7c7281656b7a011c86)
Cela posé :
Soient
les trois longitudes géocentriques observées de la comète ;
ses trois latitudes géocentriques correspondantes ; soient
le nombre des jours qui séparent la première de la seconde observation, et
celui des jours qui séparent la seconde observation de la troisième ; enfin, soit
l’arc que la Terre décrit dans un jour par son moyen mouvement sidéral ; on aura, par le no 29,
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\alpha _{1}&=\alpha &-i\lambda \left({\frac {d\alpha }{dt}}\right)&+{\frac {i^{2}\lambda ^{2}}{1.2}}\left({\frac {d^{2}\alpha }{dt^{2}}}\right)&-{\frac {i^{3}\lambda ^{3}}{1.2.3}}\left({\frac {d^{3}\alpha }{dt^{3}}}\right)&+\ldots ,\\\\\alpha '&=\alpha &+i'\lambda \left({\frac {d\alpha }{dt}}\right)&+{\frac {i'^{2}\lambda ^{2}}{1.2}}\left({\frac {d^{2}\alpha }{dt^{2}}}\right)&+{\frac {i'^{3}\lambda ^{3}}{1.2.3}}\left({\frac {d^{3}\alpha }{dt^{3}}}\right)&+\ldots ,\\\\\theta _{1}&=\theta &-i\lambda \left({\frac {d\theta }{dt}}\right)&+{\frac {i^{2}\lambda ^{2}}{1.2}}\left({\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}\right)&-{\frac {i^{3}\lambda ^{3}}{1.2.3}}\left({\frac {d^{3}\theta }{dt^{3}}}\right)&+\ldots ,\\\\\theta '&=\theta &+i'\lambda \left({\frac {d\theta }{dt}}\right)&+{\frac {i'^{2}\lambda ^{2}}{1.2}}\left({\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}\right)&+{\frac {i'^{3}\lambda ^{3}}{1.2.3}}\left({\frac {d^{3}\theta }{dt^{3}}}\right)&+\ldots \end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70ec0a1a3b8e12d2bbbe257a4b1f9da9302695c7)