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THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.
5. Supposons généralement
![{\displaystyle (a)\qquad \qquad z=a+{\frac {b}{t}}+{\frac {c}{t^{2}}}+{\frac {e}{t^{3}}}+\ldots +{\frac {p}{t^{n-1}}}+{\frac {q}{t^{n}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dad51d75215ab43934b63acc1dfc5a222e57b4a)
on aura
![{\displaystyle {\frac {1}{t^{n}}}={\frac {z-a}{q}}-{\frac {b}{qt}}-{\frac {c}{qt^{2}}}-\ldots -{\frac {p}{qt^{n-1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c62ab09e9526fc2279462ab0e0b391c40dc4b97)
ce qui donne
![{\displaystyle {\frac {1}{t^{n+1}}}={\frac {z-a}{qt}}-{\frac {b}{qt^{2}}}-{\frac {c}{qt^{3}}}-\ldots -{\frac {p}{qt^{n}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a90c7950762cf84f73d188969b2a7a097686260b)
éliminant
du second membre de cette équation au moyen de la proposée
on aura
![{\displaystyle {\frac {1}{t^{n+1}}}=-{\frac {p(z-a)}{q^{2}}}+{\frac {pb+q(z-a)}{q^{2}t}}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2cbfd8f50e2c7f40feded38df9a24028ea3eea4)
Cette expression de
ne renferme que des puissances de
d’un ordre inférieur à
En la multipliant par
on aura une expression de
qui renfermera la puissance
mais, en éliminant encore cette puissance au moyen de la proposée
on réduira l’expression de
à ne contenir que des puissances de
inférieures à
En continuant ainsi, on parviendra à une expression de
qui ne renfermera que des puissances de
moindres que
, et qui sera par conséquent de la forme
![{\displaystyle {\frac {1}{t^{i}}}=\mathrm {Z} +{\frac {1}{t}}\mathrm {Z} ^{(1)}+{\frac {1}{t^{2}}}\mathrm {Z} ^{(2)}+\ldots +{\frac {1}{t^{n-1}}}\mathrm {Z} ^{(n)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a22ce55bc7840334b106ada4fa22209011bc501)
étant des fonctions rationnelles et entières de
dans lesquelles la plus haute puissance de
ne surpasse pas ![{\displaystyle {\frac {i}{n}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85be53f3ad7bb41a2c5d4b560a52429e6b057de9)
Cette manière de déterminer
serait très pénible si
était un grand nombre ; elle conduirait d’ailleurs difficilement à l’expression générale de cette quantité. On y parviendra directement de la manière suivante.