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THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

la caractéristique $\nabla$ se rapportant à la variable $x$, et la caractéristique $\Delta$ se rapportant aux deux variables $x$ et $i.$

8. Supposons, dans la formule précédente, $x$ et $i$ infiniment grands, de manière que l’on ait

$i={\frac {x'}{dx'}},\qquad x={\frac {\varpi }{dx'}}\,;$

$y_{x+i}$ deviendra une fonction de $\varpi +x',$ fonction que nous désignerons par $\varphi (\varpi +x').$ Supposons, de plus,

$a'=a'',\qquad b'={\frac {b''}{dx'}},\qquad c'={\frac {c''}{dx'^{2}}},\qquad \ldots \qquad q={\frac {q''}{dx'^{n}}}\,;$

l’équation

$0=a'+b'\left({\frac {1}{\theta }}-1\right)+c'\left({\frac {1}{\theta }}-1\right)^{2}+\ldots$

deviendra

$0=a''+{\frac {b''}{dx'}}\left({\frac {1}{\theta }}-1\right)+{\frac {c''}{dx'^{2}}}\left({\frac {1}{\theta }}-1\right)^{2}+\ldots +{\frac {q''}{dx'^{n}}}\left({\frac {1}{\theta }}-1\right)^{n}.$

Cette dernière équation donne, pour $\theta -1,\ n$ racines $fdx',f'dx',$$f''dx',\ldots ,$ et par conséquent, pour $\theta ,$ les $n$ valeurs

$\theta =1+fdx',\qquad \theta =1+f'dx',\qquad \theta =1+f''dx',\ldots .$

Maintenant, si l’on suppose $\theta =1+hdx',$ on aura, $i$ étant supposé infini.

${\frac {1}{\theta ^{i}}}={\frac {1}{(1+hdx')^{i}}}=1-ihdx'+{\frac {i^{2}}{1.2}}h^{2}dx'^{2}-\ldots =c^{-hx'},$

$c$ étant le nombre dont le \logarithme hyperbolique est l’unité. D’ailleurs la quantité $a$ est, par le numéro précédent, égale à $a'-b'+c'-\ldots ,$ et par conséquent égale à $a''-{\frac {b''}{dx}}+\ldots \pm {\frac {q''}{dx^{n}}},$ valeur qui se réduit