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LIVRE PREMIER.
à son dernier terme, qui surpasse infiniment les autres ; l’expression de
du no 5 devient, en y changeant
dans
![{\displaystyle \mathrm {Z} _{i-1}^{(s-1)}=-{\frac {dx'}{1.2.3\ldots (s-1)(\pm q'')^{s}}}{\frac {d^{s-1}}{dh^{s-1}}}\left\{{\begin{aligned}&{\frac {c^{-hx'}}{(h-f')^{s}(h-f'')^{s}\ldots }}\\+&{\frac {c^{-hx'}}{(h-f)^{s}(h-f'')^{s}\ldots }}\\+&{\frac {c^{-hx'}}{(h-f)^{s}(h-f')^{s}\ldots }}\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db9ee662748a2ee2c17b2328222d55a4e80c1c76)
la différence
étant prise en ne faisant varier que
et en substituant, après les différentiations,
au lieu de
dans le premier terme,
au lieu de
dans le second terme, et ainsi de suite. Nommons
la quantité précédente ; on aura, à l’infiniment petit près,
étant un nombre fini.
![{\displaystyle \mathrm {Z} _{i\pm \mu }^{(s-1)}=\mathrm {Z} _{i-1}^{(s-1)}=\mathrm {X} ^{(s-1)}dx'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/581ca5aa5127531cb02f9c7cc8a55ad00fd33006)
D’ailleurs on a
et la caractéristique
des différences finies doit se changer dans la caractéristique
des différences infiniment petites, en sorte que l’équation
![{\displaystyle \nabla y_{x}=ay_{x}+by_{x+1}+cy_{x+2}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01097e62d67fab72f81f4aa53b3258737a8702c8)
ou, ce qui revient au même, celle-ci
![{\displaystyle \nabla y_{x}=a''+{\frac {b''}{dx'}}\Delta y_{x}+{\frac {c''}{dx'^{2}}}\Delta ^{2}y_{x}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e39a748168864c53acebf94848d21c2e3eebff0b)
devient, en y changeant
en ![{\displaystyle d\varpi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c15068184ca4b9579b3be2e65b3084ef02b1bda7)
![{\displaystyle \nabla y_{x}=a''+b''{\frac {d\varphi (\varpi )}{d\varpi }}+c''{\frac {d^{2}\varphi (\varpi )}{d\varpi ^{2}}}+\ldots +q''{\frac {d^{n}\varphi (\varpi )}{d\varpi ^{n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3d1840fdbf22b7d497e2a47d5200558c3de22d3)
L’expression de
trouvée dans le numéro précédent, deviendra