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THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

Si, dans l’équation précédente $(r),$ on change $\alpha$ dans $i,$ on aura

${\frac {dy_{x}}{dx}}=\log \left(1+'\Delta y_{x}\right)^{\frac {1}{i}}.$

et si l’on y suppose $\alpha =1,$ on aura

${\frac {dy_{x}}{dx}}=\log \left(1+\Delta y_{x}\right).$

La comparaison de ces deux valeurs de ${\frac {dy_{x}}{dx}}$ donne

$\log \left(1+\Delta y_{x}\right)=\log \left(1+'\Delta y_{x}\right)^{\frac {1}{i}},$

d’où l’on tire

$'\Delta y_{x}=\left(1+\Delta y_{x}\right)^{i}-1.$

En élevant chaque membre à la puissance $n$ et appliquant les exposants des puissances aux caractéristiques, on aura l’équation (1), d’où résulte l’équation (2), en changeant les différences négatives en intégrales. Les équations (1), (2), (3), (4), (5) et (6) résultent donc du théorème de Taylor, mis sous la forme de l’équation $(o),$ en transformant cette équation suivant les règles de l’Analyse, pourvu que dans les résultats on applique aux caractéristiques les exposants des puissances, que l’on change les différences négatives en intégrales et que l’on substitue la variable elle-même $y_{x}$ au lieu de ses différences zéro.

Cette ana\logie des puissances positives avec les différences et des puissances négatives avec les intégrales devient évidente par la théorie des fonctions génératrices. Elle tient, comme on l’a vu, à ce que les produits de la fonction $u,$ génératrice de $y_{x},$ par les puissances ${\frac {1}{t^{i}}}-1$ sont les fonctions génératrices des différences finies successives de $y_{x},\ x$ variant d’une quantité quelconque $i,$ tandis que les quotients de $u,$ divisés par ces mêmes puissances, sont les fonctions génératrices des intégrales de $y_{x}.$

En considérant, au lieu du facteur ${\frac {1}{t^{i}}}-1$ et de ses puissances, les puissances d’une fonction quelconque rationnelle et entière de ${\frac {1}{t}},$ on