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LIVRE PREMIER.

peut en conclure des théorèmes ana\logues aux précédents, sur les dérivées successives des fonctions. Je nomme dérivée d’une fonction $y_{x}$ toute quantité qui en dérive, telle que $ay_{x}+by_{x+1}+ey_{x+2}+\ldots .$ En regardant ensuite cette fonction dérivée comme une nouvelle fonction que je désigne par $y'_{x},$ la quantité $ay'_{x}+by'_{x+1}+ey'_{x+2}+\ldots$ sera une seconde dérivée de la fonction $y'_{x},$ et ainsi de suite. Lorsque la fonction $ay_{x}+by_{x+1}+\ldots .$ devient $-y_{x}+y_{x+1},$ la dérivée devient une différence finie.

Maintenant on a

$(q)\quad \left\{{\begin{aligned}u&\left(a+{\frac {b}{t}}+{\frac {e}{t^{2}}}+{\frac {h}{t^{3}}}+\ldots \right)^{n}\\&=u\left[a+b\left(1+{\frac {1}{t^{dx}}}-1\right)^{\frac {1}{dx}}+e\left(1+{\frac {1}{t^{dx}}}-1\right)^{\frac {2}{dx}}+\ldots \right]^{n}\,;\end{aligned}}\right.$

on a ensuite généralement, par le n^o 2, en désignant par $\nabla y_{x}$ la quantité $ay_{x}+by_{x+1}+ey_{x+2}+\ldots ,\ \nabla ''y_{x}$ pour le coefficient de la fonction génératrice du premier membre de cette équation ; de plus on a

$u\left(1+{\frac {1}{t^{dx}}}-1\right)^{\frac {r}{dx}}$

$=u\left[1+{\frac {r}{dx}}\left({\frac {1}{t^{dx}}}-1\right)+{\frac {r^{2}}{1.2.dx^{2}}}\left({\frac {1}{t^{dx}}}-1\right)^{2}+\ldots \right].$

Le second membre de cette équation est la fonction génératrice de

$y_{x}+r{\frac {dy_{x}}{dx}}+{\frac {r^{2}}{1.2}}{\frac {d^{2}y_{x}}{dx^{2}}}+\ldots$

ou de $c^{r{\frac {dy_{x}}{dx}}},$ en appliquant à la caractéristique $d$ les exposants de puissances de ${\frac {dy_{x}}{dx}},$ et écrivant $y_{x}$ au lieu de $\left({\frac {dy_{x}}{dx}}\right)^{0}.$ De là on conclut que, sous les mêmes conditions, le second membre de l’équation $(q)$ est la fonction génératrice de

$\left(a+bc^{\frac {dy_{x}}{dx}}+ec^{\frac {2dy_{x}}{dx}}+hc^{\frac {3dy_{x}}{dx}}+\ldots \right)^{n}.$

et qu’ainsi cette équation donne, en repassant des fonctions généra-