en lui donnant une position contraire à la seconde, le point
conservant la même place, et ainsi de suite à l’infini. Les ordonnées de ces polygones représentent les valeurs de
qui répondent à
négatif. On aura ensuite la valeur de
en prenant la demi-somme des deux ordonnées qui répondent aux abscisses
et
Cette construction géométrique est générale, quelle que soit la nature du polygone que nous venons de considérer. Elle servira à déterminer toutes les valeurs de
comprises depuis
jusqu’à
et depuis
jusqu’à
pourvu que l’on ait
et
et que d’ailleurs le second rang horizontal de la Table (Z) soit tel, que l’on ait
![{\displaystyle y_{x,1}={\frac {1}{2}}y_{x+1,0}+{\frac {1}{2}}y_{x-1,0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36adf98327dc85261b088e76f06ebaa13d8a0d51)
On a, par ce qui précède,
![{\displaystyle y_{x,x'+n}={\frac {1}{2}}y_{x+x'+n,0}+{\frac {1}{2}}y_{x-x'-n,0}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2114761d51bbdc0fa9f246aa4fb76acbd614c9db)
de plus,
![{\displaystyle y_{x+x'+n,0}=-y_{n-x-x',0},\qquad y_{x-x'-n,0}=-y_{n-x+x',0}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46010c6f17f9a8028fa08aed257beeb3325bfe2d)
donc
![{\displaystyle y_{x,x'+n}=-{\frac {1}{2}}y_{n-x-x',0}-{\frac {1}{2}}y_{n-x+x',0}=-y_{n-x,x'}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ade70420aefd1ed8aac7c9885f1064cd168a1d25)
Il suit de là que, dans la Table (Z), le
ième rang horizontal est le
ième rang pris avec un signe contraire et dans un ordre renversé, en sorte que le terme
ième du rang
ième est le même que le terme
ième du
ième rang pris avec un signe contraire. On a ensuite
![{\displaystyle y_{x,2n+x'}={\frac {1}{2}}y_{2n+x+x',0}+{\frac {1}{2}}y_{x-x'-2n,0}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ff0a60ee857ca5f88056785d9d66f30ed94b3b5)
on a d’ailleurs, par ce qui précède,
![{\displaystyle y_{2n+x+x',0}=y_{x+x',0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f87a2da1d5116c91d59a1b9f3fd06d868c39c553)
![{\displaystyle y_{x-x'-2n,0}=-y_{2n+x'-x,0}=-y_{x'-x}=y_{x-x'}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/677b1ff7d0b9842f542b5a8725d5b4a96b9d8266)
partant
![{\displaystyle y_{n,2n+x'}={\frac {1}{2}}y_{x+x',0}+{\frac {1}{2}}y_{x-x',0}=y_{x,x'},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/194e5ef6c215eae40b2170d87a5c22e50192cb94)
d’où il suit que le
ième rang horizontal est exactement égal au
ième rang.