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$c^{-x\varpi {\sqrt {-1}}}d\varpi$ et intégrant, on aura

$\int \mathrm {U} d\varpi c^{-x\varpi {\sqrt {-1}}}=\int d\varpi \left\{{\begin{aligned}y_{0}c^{-x\varpi {\sqrt {-1}}}&+y_{1}c^{-(x-1)\varpi {\sqrt {-1}}}+\ldots \\&+y_{x}+y_{x+1}c^{\varpi {\sqrt {-1}}}+\ldots \end{aligned}}\right\}.$

Si l’on substitue, pour $c^{\pm r\varpi {\sqrt {-1}}},$ sa valeur $\cos r\varpi \pm {\sqrt {-1}}\sin r\varpi ,$ et si l’on prend l’intégrale depuis $\varpi =-\pi$ jusqu’à $\varpi =\pi ,\ 2\pi$ étant la circonférence, le second membre se réduit à $2\pi y_{x}\,;$ on a donc

$y_{x}={\frac {1}{2\pi }}\int \mathrm {U} d\varpi \left(\cos x\varpi -{\sqrt {-1}}\sin x\varpi \right)\,;$

mais cette formule a l’inconvénient d’introduire des imaginaires dont on peut se débarrasser de la manière suivante.

Considérons l’équation

${\begin{aligned}0=ay_{x}&+by_{x+1}+\ldots +qy_{x+n}\\&+x\left(a'y_{x}+b'y_{x+1}+\ldots +q'y_{x+n}\right)\end{aligned}}$

et supposons

$y_{x}=\int t^{-x-1}\mathrm {T} dt,$

$\mathrm {T}$ étant une fonction de $t$ qu’il s’agit de déterminer, ainsi que les limites de l’intégrale. En substituant pour $y_{x}$ cette valeur dans l’équation différentielle en $y_{x},$ et observant que l’on a

$x\int t^{-x-1}dt{\frac {\mathrm {T} }{t^{r}}}=-t^{-x}{\frac {\mathrm {T} }{t^{r}}}+\int t^{-x}d\left({\frac {\mathrm {T} }{t^{r}}}\right),$

ce qui fait disparaître le coefficient variable $x$, on aura

$(h)\qquad \left\{{\begin{aligned}0=&-\mathrm {T} t^{-x}\left(a'+{\frac {b'}{t}}+\ldots +{\frac {q'}{t^{n}}}\right)\\&+\int t^{-x-1}dt\left\{{\begin{aligned}&\mathrm {T} \left(a+{\frac {b}{t}}+\ldots +{\frac {q}{t^{n}}}\right)\\&+t{\frac {d}{dt}}\left[\mathrm {T} \left(a'+{\frac {b'}{t}}+\ldots +{\frac {q'}{t^{n}}}\right)\right]\end{aligned}}\right\}.\\\end{aligned}}\right.$

En égalant à zéro la partie sous le signe $\int ,$ on aura

$0=\mathrm {T} \left(a+{\frac {b}{t}}+\ldots +{\frac {q}{t^{n}}}\right)+t{\frac {d}{dt}}\left[\mathrm {T} \left(a'+{\frac {b'}{t}}+\ldots +{\frac {q'}{t^{n}}}\right)\right].$