Cette équation intégrée donne en fonction de . Elle est la même que l’équation différentielle en du numéro précédent, en négligeant dans celle-ci le terme indépendant de La valeur de est donc la partie de qui est indépendante de ce terme.
Pour avoir les limites de l’intégrale on égalera à zéro la partie hors du signe dans l’équation ce qui donne
Cette équation est satisfaite en supposant infini, et en le supposant égal à l’une des racines de l’équation
on aura ainsi limites de l’intégrale en multipliant ensuite chaque intégrale, comprise entre une de ces limites et les autres limites, par une constante arbitraire, la somme de ces produits sera la valeur complète de
On peut étendre cette méthode aux équations à différences partielles finies et infiniment petites, comme nous le ferons voir dans la seconde partie de ce Livre.
On voit, par ce qui précède, l’analogie qui existe entre les fonctions génératrices des variables et les intégrales définies au moyen desquelles ces variables peuvent être exprimées. Pour la rendre encore plus sensible, considérons l’équation
étant une fonction de et l’intégrale étant prise dans des limites déterminées. On aura, variant de
et, généralement,
