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les valeurs de $\varphi$ correspondantes aux limites $q,q^{(1)},q^{(2)},\ldots$ par $\mathrm {B} \lambda ,$$\mathrm {B^{(1)}\lambda ^{(1)},B^{(2)}\lambda ^{(2)},\ldots ,B,B^{(1)},B^{(2)}} ,\ldots$ étant des constantes arbitraires, et l’on aura, pour la valeur complète de $y_{s},$

$y_{s}=\mathrm {B} \int \delta y\lambda dx+\mathrm {B} ^{(1)}\int \delta y\lambda ^{(1)}dx+\mathrm {B} ^{(2)}\int \delta y\lambda ^{(2)}dx+\ldots ,$

l’intégrale du premier terme étant prise depuis $x=h$ jusqu’à $x=q,$ celle du second terme étant prise depuis $x=h$ jusqu’à $x=q^{(1)},$ et ainsi du reste. On déterminera les constantes $\mathrm {B,B^{(1)}} ,\ldots$ au moyen d’autant de valeurs particulières de $y_{s}.$

Supposons maintenant que, dans l’équation (3), $\mathrm {S}$ ne soit pas nul. Si l’on prend l’intégrale $\int \delta y\varphi dx$ depuis $x=h$ jusqu’à $x$ égal à une quantité quelconque $p,$ il est clair que l’on aura $\mathrm {C} =0,$ et que $\mathrm {S}$ sera ce que devient la fonction

${\begin{aligned}&\delta y\left[\mathrm {N} \varphi -{\frac {d(\mathrm {P} \varphi )}{dx}}+\ldots \right]\\+&{\frac {d\delta y}{dx}}\left(\mathrm {P} \varphi -\ldots \right)\\+&\ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

lorsqu’on y change $x$ en $p.$ Ainsi, pour le succès de la méthode précédente, il est nécessaire que $\mathrm {S}$ ait la forme de cette fonction. Faisons, par exemple, $\delta y=x^{s},$ et

$\mathrm {S} =p^{s}\left[l+l^{(1)}s+l^{(2)}s(s-1)+l^{(3)}s(s-1)(s-2)+\ldots \right]\,;$

en comparant cette valeur de $\mathrm {S}$ à la précédente, on aura

${\begin{aligned}l=&\mathrm {N} \varphi -{\frac {d(\mathrm {P} \varphi )}{dx}}+\ldots ,\\l^{(1)}p=&\mathrm {P} \varphi -\ldots ,\\\ldots s&\ldots \ldots ,\end{aligned}}$

$x$ devant être changé en $p$ dans les seconds membres de ces équations, dont le nombre est égal au degré de l’équation différentielle (2). On pourra donc, à leur moyen, déterminer les constantes arbitraires de la valeur de $\varphi ,$ et si l’on désigne par $\psi$ ce que devient $\varphi$ lorsqu’on a ainsi