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LIVRE PREMIER.
déterminé ses arbitraires, on aura
![{\displaystyle y_{s}=\int x^{s}\psi dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/babcedb9f360687a92dba9d7a5184875bba902bb)
De là et de ce que l’équation (1) est linéaire, il est facile de conclure que, si
est égal à
![{\displaystyle {\begin{aligned}&p^{s}\left[l+l^{(1)}s+l^{(2)}s(s-1)+\ldots \right]\\+&p_{1}^{s}\left[l_{1}+l_{1}^{(1)}s+l_{1}^{(2)}s(s-1)+\ldots \right]\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ffb16b1f5014b550adde76ea02f4313c7f20255)
en nommant
ce que devient
lorsqu’on y change successivement
en
en
on aura
![{\displaystyle y_{s}=\int x^{s}\psi dx+\int x^{s}\psi 'dx+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7c4b4b15ce86cbd07fe86b90eb5e4eaf0d1d5eb)
la première intégrale étant prise depuis
jusqu’à
la seconde étant prise depuis
jusqu’à
Cette valeur de
ne renferme aucune constante arbitraire ; mais, en la joignant à celle que nous avons trouvée précédemment pour le cas de
nul, on aura l’expression complète de ![{\displaystyle y_{s}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bb0a0b6f78409c19e1c8518ad5c1406f33b2988)
30. Supposons maintenant que l’on ait un nombre quelconque d’équations linéaires aux différences finies entre un pareil nombre de variables
et dont les coefficients soient des fonctions rationnelles et entières de
Faisons alors
![{\displaystyle y_{s}=\int x^{s}\varphi dx,\qquad y'_{s}=\int x^{s}\varphi 'dx,\qquad y''_{s}=\int x^{s}\varphi ''dx,\qquad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f71d7b4874597de3cf2a6ddacf1f7f233b6e0ade)
ces diverses intégrales étant prises entre les mêmes limites déterminées et indépendantes de
Nous aurons
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\Delta y_{s}=&\int x^{s}(x-1)\varphi dx,&\qquad \Delta ^{2}y_{s}=&\int x^{s}(x-1)^{2}\varphi dx,\qquad \ldots ,\\\Delta y'_{s}=&\int x^{s}(x-1)\varphi 'dx,&\Delta ^{2}y'_{s}=&\int x^{s}(x-1)^{2}\varphi 'dx,\qquad \ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,\qquad \ \qquad \ldots ,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d8c1d1f87fb377d4fd001e0ee129114623fbefa)
Les équations dont il s’agit pourront ainsi être mises sous les formes suivantes
![{\displaystyle \mathrm {S} =\int x^{s}zdx,\qquad \mathrm {S} '=\int x^{s}z'dx,\qquad \mathrm {S} ''=\int x^{s}z''dx,\qquad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09abab133267cbf14cb627364dd065ed084f8f96)