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l’unité, on a $dx'={\frac {1}{a}},$ on aura

$\int \varphi \left({\frac {x}{a}}\right)=a\int dx'\varphi (x').$

Nommons, comme dans les numéros précédents, $k$ l’intégrale $2\int dx'\varphi (x'),$ prise depuis $x'$ nul jusqu’à sa valeur positive extrême ; nommons pareillement $k''$ l’intégrale $\int x'^{2}dx',$ prise dans les mêmes limites, et ainsi de suite ; nous aurons

$2\int \varphi \left({\frac {x}{a}}\right)\cos mx\varpi =ak\left(1-{\frac {k''}{k}}m^{2}a^{2}\varpi ^{2}+{\frac {k^{\text{ıv}}}{12k}}m^{4}a^{4}\varpi ^{4}-\ldots \right).$

Le logarithme du second membre de cette équation est

$-{\frac {k''}{k}}m^{2}a^{2}\varpi ^{2}+{\frac {kk^{\text{ıv}}-6k''^{2}}{12k^{2}}}m^{4}a^{4}\varpi ^{4}-\ldots +\log ak\,;$

$ak$ ou $2a\int dx'\varphi (x')$ exprime la probabilité que l’erreur de chaque observation sera comprise dans ses limites, ce qui est certain ; on a donc $ak=1\,;$ ce qui réduit le logarithme précédent à

$-{\frac {k''}{k}}m^{2}a^{2}\varpi ^{2}+{\frac {kk^{\text{ıv}}-6k''^{2}}{12k^{2}}}m^{4}a^{4}\varpi ^{4}-\ldots .$

De là il est aisé de conclure que le produit

$2\int \varphi \left({\frac {x}{a}}\right)\cos mx\varpi \times 2\int \varphi \left({\frac {x}{a}}\right)\cos m^{(i)}x\varpi \times \ldots$

$\times 2\int \varphi \left({\frac {x}{a}}\right)\cos m^{(s-1)}x\varpi$

est

$\left(1+{\frac {kk^{\text{ıv}}-6k''^{2}}{12k^{2}}}a^{4}\varpi ^{4}\mathrm {S} m^{(i)4}+\ldots \right)c^{-{\frac {k''}{k}}a^{2}\varpi ^{2}\mathrm {S} m^{(i)2}}\,;$

l’intégrale précédente $(i)$ se réduit donc à

${\frac {1}{2\pi }}\int d\varpi \left(1+{\frac {kk^{\text{ıv}}-6k''^{2}}{12k^{2}}}a^{4}\varpi ^{4}\mathrm {S} m^{(i)4}+\ldots \right)c^{-l\varpi {\sqrt {-1}}-{\frac {k''}{k}}a^{2}\varpi ^{2}\mathrm {S} m^{(i)2}}.$

En faisant $sa^{2}\varpi ^{2}=t^{2},$ cette intégrale devient

${\frac {1}{2a\pi {\sqrt {s}}}}\int dt\left(1+{\frac {kk^{\text{ıv}}-6k''^{2}}{12k^{2}}}{\frac {\mathrm {S} m^{(i)4}}{s^{2}}}t^{4}+\ldots \right)c^{{\frac {lt{\sqrt {-1}}}{a{\sqrt {s}}}}-{\frac {k''}{k}}{\frac {\mathrm {S} m^{(i)2}}{s}}t^{2}}\,;$