tipliées par leur probabilité, est l’intégrale étant prise depuis jusqu’à l’abscisse correspondante à la dernière extrémité de la courbe ; la somme entière des erreurs à craindre, abstraction faite du signe, et multipliées par leurs probabilités respectives, est donc
La différentielle de cette fonction, prise par rapport à est
car on a la différentielle de en différenciant d’abord la valeur de sous le signe et en ajoutant à cette différentielle l’accroissement qui résulte de la variation de la limite de l’intégrale, limite qui se change en Cet accroissement est égal à l’élément à la limite où il est donc nul, et est la différentielle de l’intégrale On verra de la même manière que est la différentielle de l’intégrale La somme de ces différentielles est nulle relativement à l’abscisse pour laquelle l’erreur moyenne à craindre est un minimum ; on a donc, relativement à cette abscisse,
la première intégrale étant prise depuis jusqu’à et la seconde étant prise depuis jusqu’à la valeur extrême de
Il suit de là que l’abscisse qui rend l’erreur moyenne à craindre un minimum est celle dont l’ordonnée divise l’aire de la courbe en deux parties égales. Ce point jouit encore de la propriété d’être celui en deçà duquel il est aussi probable que le vrai résultat tombe, qu’au delà, et par cette raison il peut encore être nommé milieu de probabilité. Des géomètres célèbres ont pris pour le milieu qu’il faut choisir celui qui rend le résultat observé le plus probable, et par conséquent l’abscisse qui répond à la plus grande ordonnée de la courbe ; mais le milieu que nous adoptons est évidemment indiqué par la théorie des probabilités.
Si l’on met sous la forme d’exponentielle, et qu’on le désigne
