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par $c^{-\psi (x^{2})},$ afin qu’il puisse également convenir aux erreurs positives et négatives, on aura

(1)

$1y=\mathrm {H} c^{-\psi (x^{2})-\psi (x-q)^{2}-\psi \left(x-q^{(1)}\right)^{2}-\ldots .}$

Si l’on fait $x=a+z,$ et que l’on développe l’exposant de $c$ par rapport aux puissances de $z,\ y$ prendra cette forme

$y=\mathrm {H} c^{-\mathrm {M} -2\mathrm {N} z-\mathrm {P} z^{2}-\mathrm {Q} z^{3}-\ldots },$

expression dans laquelle on a

${\begin{aligned}\mathrm {M} =&\psi (a^{2})+\psi (a-q)^{2}+\psi \left(a-q^{(1)}\right)^{2}+\ldots ,\\\mathrm {N} =&a\psi '(a^{2})+(a-q)\psi '(a-q)^{2}+\left(a-q^{(1)}\right)\psi '\left(a-q^{(1)}\right)^{2}+\ldots \\\mathrm {P} =&\psi '(a^{2})+\psi '(a-q)^{2}+\psi '\left(a-q^{(1)}\right)^{2}+\ldots +2a^{2}\psi ''(a^{2})\\&\qquad +2(a-q)^{2}\psi ''(a-q)^{2}+2\left(a-q^{(1)}\right)^{2}\psi ''\left(a-q^{(1)}\right)^{2}+\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

$\psi ''(t)$ étant le coefficient de $dt$ dans la différentielle de $\psi (t),\ \psi ''(t)$ étant le coefficient de $dt$ dans la différentielle de $\psi '(t),$ et ainsi de suite.

Supposons le nombre $s$ des observations très grand, et déterminons $a$ par l’équation $\mathrm {N} =0$ que donne la condition du maximum de $y\,;$ alors on a

$y=\mathrm {H} c^{-\mathrm {M} -\mathrm {P} z^{2}-\mathrm {Q} z^{3}-\ldots }.$

$\mathrm {M,P,Q,} \ldots$ sont de l’ordre $s\,;$ or, si $z$ est très petit de l’ordre ${\frac {1}{\sqrt {s}}},\ \mathrm {Q} z^{3}$ devient de l’ordre ${\frac {1}{\sqrt {s}}},$ et l’exponentielle $c^{-\mathrm {Q} z^{3}-\ldots }$ peut se réduire à l’unité. Ainsi, dans l’intervalle depuis $z=0$ jusqu’à $z={\frac {r}{\sqrt {s}}},$ on peut supposer

$y=\mathrm {H} c^{-\mathrm {M-P} z^{2}}.$

Au delà, et lorsque $z$ est de l’ordre $s^{-{\frac {m}{2}}},\ m$ étant plus petit que l’unité, $\mathrm {P} z^{2}$ devient de l’ordre $s^{1-m}\,;$ par conséquent $c^{-\mathrm {P} z^{2}}$ devient, ainsi que $y,$ insensible ; en sorte que l’on peut, dans toute l’étendue de la courbe,