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lequel la plus grande erreur, abstraction faite du signe, est moindre que dans tout autre système. Ce cas est celui du minimum des puissances infinies et paires des erreurs. Ne considérons ici que la correction d’un seul élément, et, $z$ exprimant cette correction, représentons, comme précédemment, les équations de condition par la suivante,

$\varepsilon ^{(i)}=p^{(i)}z-\alpha ^{(i)},$

$i$ pouvant varier depuis zéro jusqu’à $s-1,\ s$ étant le nombre des observations. La somme des puissances $2n$ des erreurs sera $\mathrm {S} \left(\alpha ^{(i)}-p^{(i)}z\right)^{2n},$ le signe $\mathrm {S}$ s’étend à toutes les valeurs de $i.$ On peut supposer dans cette somme toutes les valeurs de $p^{(i)}$ positives ; car, si l’une d’elles était négative, elle deviendrait positive en changeant, comme on peut le faire, les signes des deux termes du binôme élevé à la puissance $2n,$ auquel elle correspond. Nous supposerons donc les quantités $\alpha -pz,$$\ \alpha ^{(1)}-p^{(1)}z,\ \alpha ^{(2)}-p^{(2)}z,\ldots ,$ disposées de manière que les quantités $p,p^{(1)},p^{(2)},\ldots$ soient positives et croissantes. Cela posé, si $2n$ est infini, il est clair que le plus grand terme de la somme $\mathrm {S} \left(\alpha ^{(i)}-p^{(i)}z\right)^{2n}$ sera la somme entière, à moins qu’il n’y ait un ou plusieurs autres termes qui lui soient égaux, et c’est ce qui doit avoir lieu dans le cas du minimum de la somme. En effet, s’il n’y avait qu’une seule quantité la plus grande, abstraction faite du signe, telle que $\alpha ^{(i)}-p^{(i)}z,$ on pourrait la diminuer en faisant varier $z$ convenablement, et alors la somme $\mathrm {S} \left(\alpha ^{(i)}-p^{(i)}z\right)^{2n}$ diminuerait et ne serait pas un minimum. Il faut de plus que, si $\alpha ^{(i)}-p^{(i)}z$ et $\alpha ^{(i')}-p^{(i')}z$ sont, abstraction faite du signe, les deux quantités les plus grandes et égales entre elles, elles soient de signe contraire. En effet, la somme

$\left(\alpha ^{(i)}-p^{(i)}z\right)^{2n}+\left(\alpha ^{(i')}-p^{(i')}z\right)^{2n}$

devant être alors un minimum, sa différentielle

$-2ndz\left[p^{(i)}\left(\alpha ^{(i)}-p^{(i)}z\right)^{2n-1}+p^{(i')}\left(\alpha ^{(i')}-p^{(i')}z\right)^{2n-1}\right]$

doit être nulle, ce qui ne peut être, lorsque $n$ est infini, que dans le cas où $\alpha ^{(i)}-p^{(i)}z$ et $\alpha ^{(i')}-p^{(i')}z$ sont infiniment peu différents et de