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respond au système du minimum de la plus grande des erreurs, abstraction faite du signe, est

$z={\frac {\alpha ^{(i)}+\alpha ^{(i')}}{p^{(i)}+p^{(i')}}}.$

S’il y a plusieurs éléments à corriger, les équations de condition qui déterminent leurs corrections renferment plusieurs inconnues, et la recherche du système de correction, dans lequel la plus grande erreur est, abstraction faite du signe, plus petite que dans tout autre système, devient plus compliquée. J’ai considéré ce cas d’une manière générale dans le Livre III de la Mécanique céleste. J’observerai seulement ici qu’alors la somme des puissances $2n$ des erreurs des observations est, comme dans le cas d’une seule inconnue, un minimum lorsque $2n$ est infini ; d’où il est facile de conclure que, dans le système dont il s’agit, il doit y avoir autant d’erreurs, plus une, égales, et les plus grandes, abstraction faite du signe, qu’il y a d’éléments à corriger. On conçoit que les résultats correspondants à $2n$ égal à un grand nombre doivent peu différer de ceux que donne $2n$ infini. Il n’est pas même nécessaire pour cela que la puissance $2n$ soit fort élevée, et j’ai reconnu par beaucoup d’exemples que, dans le cas même où cette puissance ne surpasse pas le carré, les résultats diffèrent peu de ceux que donne le système du minimum des plus grandes erreurs, ce qui est un nouvel avantage de la méthode des moindres carrés des erreurs des observations.

Depuis longtemps, les géomètres prennent un milieu arithmétique entre leurs observations, et, pour déterminer les éléments qu’ils veulent connaître, ils choisissent les circonstances les plus favorables pour cet objet, savoir, celles dans lesquelles les erreurs des observations altèrent le moins qu’il est possible la valeur de ces éléments. Mais Cotes est, si je ne me trompe, le premier qui ait donné une règle générale pour faire concourir à la détermination d’un élément plusieurs observations, proportionnellement à leur influence. En considérant chaque observation comme une fonction de l’élément et regardant l’erreur de l’observation comme une différentielle infiniment petite, elle sera égale à la différentielle de la fonction, prise par rapport à cet