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Enfin on a, par le n^o 28,

$\int x^{p}dx(1-x)^{q}=\left({\frac {p}{p+q}}\right)^{p}\left({\frac {q}{p+q}}\right)^{q}{\sqrt {\frac {pq}{p+q}}}{\frac {\sqrt {2\pi }}{p+q}}.$

Cela posé, l’expression de $\mathrm {P}$ deviendra à très peu près

(2)

$\mathrm {P} ={\frac {\mathrm {Z} ^{i}{\cfrac {(p+q)^{3}}{2pq}}\mu ^{2}}{\sqrt {1+{\cfrac {(p+q)\mu }{pq}}\left[n(p-q)-p\right]+{\cfrac {(p+q)^{2}\mu ^{2}}{pq}}\left(2n+{\cfrac {p+q}{i}}\right)}}}.$

Il ne s’agit donc plus que de déterminer $\mathrm {Z} .$ On a

$\mathrm {Z} ={\frac {\int s^{n}ds(1-s)^{n-1}}{\int s^{n}ds(1-s)^{n-1}}},$

l’intégrale du numérateur étant prise depuis $s=0$ jusqu’à $s=a,$ et celle du dénominateur étant prise depuis $s=0$ jusqu’à $s=1.$ Il est facile d’en conclure que l’on a

$\mathrm {Z} =1-{\frac {\int s^{n}ds(1-s)^{n-1}}{\int s^{n}ds(1-s)^{n-1}}},$

l’intégrale du numérateur étant prise depuis $s=a$ jusqu’à $s=1$ et celle du dénominateur étant prise depuis $s=0$ jusqu’à $s=1\,;$ on aura ainsi, à fort peu près, par le n^o 29,

(3)

$\mathrm {Z} =1-{\frac {\int dtc^{-t^{2}}}{\sqrt {\pi }}},$

l’intégrale relative à $t$ étant prise depuis

$t^{2}={\frac {2n-1}{2n(n-1)}}\left[{\frac {n(p-q)}{(p+q)}}-{\frac {p}{p+q}}+(2n-1)\mu \right]^{2},$

jusqu’à $t^{2}=\infty .$

Pour appliquer des nombres à ces formules, nous observerons que, par ce qui précède, dans l’intervalle du commencement de 1745 à la fin de 1784, on a par le n^o 28, relativement à Paris,

$p=393386,\qquad q=377555.$