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teur, et il est visible qu’elle devient nulle, en y faisant $\varpi$ infini ; on a donc

$\int {\frac {d\varpi c^{-as\varpi {\sqrt {-1}}}}{\left(1-\varpi {\sqrt {-1}}\right)^{i+1}}}={\frac {as}{i}}\int {\frac {d\varpi c^{-as\varpi {\sqrt {-1}}}}{\left(1-\varpi {\sqrt {-1}}\right)^{i}}}.$

De là il est facile de conclure qu’en faisant $i=r-{\frac {m}{n}},\ r$ étant un nombre entier positif, on aura

$\int {\frac {d\varpi c^{-as\varpi {\sqrt {-1}}}}{\left(1-\varpi {\sqrt {-1}}\right)^{i+1}}}={\frac {a^{r}s^{r}}{i(i-1)\ldots \left(1-{\frac {m}{n}}\right)}}\int {\frac {d\varpi c^{-as\varpi {\sqrt {-1}}}}{\left(1-\varpi {\sqrt {-1}}\right)^{1-{\frac {m}{n}}}}}.$

Soit $as\varpi =\varpi ',$ et faisons $as=q\,;$ nous aurons

$a^{r}s^{r}\int {\frac {d\varpi c^{-as\varpi {\sqrt {-1}}}}{\left(1-\varpi {\sqrt {-1}}\right)^{1-{\frac {m}{n}}}}}=q^{i}\int {\frac {d\varpi 'c^{-\varpi '{\sqrt {-1}}}}{\left(q-\varpi '{\sqrt {-1}}\right)^{1-{\frac {m}{n}}}}},$

les intégrales étant prises depuis $\varpi$ et $\varpi '$ égaux à $-\infty$ jusqu’à $\varpi$ et $\varpi '$ égaux à $+\infty .$ Désignons par $k$ l’intégrale

$\int {\frac {d\varpi 'c^{-\varpi '{\sqrt {-1}}}}{\left(q-\varpi '{\sqrt {-1}}\right)^{1-{\frac {m}{n}}}}}\,;$

on aura

${\begin{aligned}{\frac {dk}{dq}}=&-\left(1-{\frac {m}{n}}\right)\int {\frac {d\varpi 'c^{-\varpi '{\sqrt {-1}}}}{\left(q-\varpi '{\sqrt {-1}}\right)^{1-{\frac {m}{n}}}}}\\=&{\frac {{\sqrt {-1}}c^{-\varpi '{\sqrt {-1}}}}{\left(q-\varpi '{\sqrt {-1}}\right)^{1-{\frac {m}{n}}}}}-\int {\frac {d\varpi 'c^{-\varpi '{\sqrt {-1}}}}{\left(q-\varpi '{\sqrt {-1}}\right)^{1-{\frac {m}{n}}}}}+\mathrm {const} .\end{aligned}}$

On verra, comme ci-dessus, que ce dernier membre se réduit au terme affecté du signe intégral, terme qui est égal à $-k\,;$ on a donc dk

${\frac {dk}{dq}}=-k,$

ce qui donne, en intégrant,

$k=\mathrm {A} c^{-q},$

$\mathrm {A}$ étant une constante arbitraire indépendante de $q.$ Il est visible que