pour atteindre les 
coups, on arrive, par les premiers principes des probabilités, à l’équation aux différences partielles
qui donne, pour la fonction génératrice de 
étant une fonction arbitraire de 
et 
deux fonctions arbitraires de 
Pour les déterminer plus commodément, nous transformerons cette fonction génératrice en celle-ci
dans laquelle 
et 
sont, comme plus haut, des fonctions arbitraires de 
et de Or 
est le coefficient de 
dans le développement de la fonction par rapport aux puissances de 
ou la fonction génératrice de 
mais, par les conditions du problème, est nul quel que soit 
par conséquent sa fonction génératrice l’est aussi ; 
est donc égal à zéro.
Le coefficient de 
dans le développement de la fonction génératrice par rapport à 
est 
ce qui est en même temps la fonction génératrice de 
quantité qui est nulle tant que 
est moindre que la somme des jetons ou 
et qui devient l’unité quand 
est donc une fonction de qui a pour facteur 
et dont on peut ne tenir aucun compte dans le numérateur de la fonction génératrice, car elle ne doit donner que des puissances de supérieures à et nous n’avons en vue que d’avoir une fonction génératrice composée des puissances inférieures de puisque ne peut s’étendre que depuis 
jusqu’à 
La fonction génératrice de ainsi limitée entre ces valeurs, se réduit donc à
