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laquelle on peut mettre aisément sous cette forme

(II)

$\left\{{\begin{aligned}&{\frac {\mathrm {B} '_{1}}{p}}t{\frac {1}{\left(1-{\cfrac {{\cfrac {1}{t'}}+{\sqrt {{\cfrac {1}{t'^{2}}}-4pq}}}{2p}}t\right)}}\\&={\frac {\mathrm {B} '_{1}}{p}}{\frac {t}{2{\sqrt {{\cfrac {1}{t'^{2}}}-4pq}}}}\\&\times \left\{{\frac {{\cfrac {1}{t'}}+{\sqrt {{\cfrac {1}{t'^{2}}}-4pq}}}{1-{\cfrac {{\cfrac {1}{t'}}+{\sqrt {{\cfrac {1}{t'^{2}}}-4pq}}}{2p}}t}}-{\frac {{\cfrac {1}{t'}}-{\sqrt {{\cfrac {1}{t'^{2}}}-4pq}}}{1-{\cfrac {{\cfrac {1}{t'}}-{\sqrt {{\cfrac {1}{t'^{2}}}-4pq}}}{2p}}t}}\right\}\,;\end{aligned}}\right\}$

d’où l’on tire, pour le coefficient de $t^{a+b}$ l’expression

${\frac {\mathrm {B} '_{1}}{p}}{\frac {1}{(2p)^{a+b-1}}}\ {\frac {\left({\cfrac {1}{t'}}+{\sqrt {{\cfrac {1}{t'^{2}}}-4pq}}\right)^{a+b}-\left({\cfrac {1}{t'}}-{\sqrt {{\cfrac {1}{t'^{2}}}-4pq}}\right)^{a+b}}{2{\sqrt {{\cfrac {1}{t'^{2}}}-4pq}}}}.$

Mais ce coefficient est la fonction génératrice de $y_{a+b,x'},$ quantité qui est égale à l’unité ; car il est certain que le joueur $\mathrm {A}$ a gagné la partie lorsqu’il a gagné tous les jetons de $\mathrm {B} \,:$ de plus, $x'$ doit être ici zéro ou un nombre pair, puisque le nombre de coups dans lesquels $\mathrm {A}$ peut gagner la partie est égal à $b$ plus un nombre pair ; et, en effet, il doit gagner tous les jetons de $\mathrm {B} ,$ et encore regagner chaque jeton qu’il a perdu, ce qui exige deux coups. La série

$y_{a+b,0}t'^{0}+y_{a+b,2}t'^{2}+y_{a+b,4}t'^{4}+\ldots ,$

qui représente le coefficient de $t^{a+b},$ est donc égale à ${\frac {1}{1-t'^{2}}},$ et l’on en conclut

${\frac {\mathrm {B} '_{1}}{p}}={\frac {(2p)^{a+b-1}}{1-t'^{2}}}\ {\frac {2{\sqrt {{\cfrac {1}{t'^{2}}}-4pq}}}{\left({\cfrac {1}{t'}}+{\sqrt {{\cfrac {1}{t'^{2}}}-4pq}}\right)^{a+b}-\left({\cfrac {1}{t'}}-{\sqrt {{\cfrac {1}{t'^{2}}}-4pq}}\right)^{a+b}}}.$

Maintenant le coefficient de $t^{a},$ tiré du développement de la fonc-