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Pour éliminer $x$ entre les deux équations, remarquons que l’on a (prop. 37)

${\begin{aligned}\cos \Pi (c-x)&=1-{\frac {1-\operatorname {tang} ^{2}{\frac {1}{2}}\Pi (c-x)}{1+\operatorname {tang} ^{2}{\frac {1}{2}}\Pi (c-x)}}\\[0.75ex]&={\frac {1-e^{2x-2c}}{1+e^{2x-2c}}}\\[0.75ex]&=1-{\frac {1-\operatorname {tang} ^{2}{\frac {1}{2}}\Pi (c)\,\operatorname {cot} ^{2}{\frac {1}{2}}\Pi (x)}{1+\operatorname {tang} ^{2}{\frac {1}{2}}\Pi (c)\,\operatorname {cot} ^{2}{\frac {1}{2}}\Pi (x)}}\\[0.75ex]&={\frac {\cos \Pi (c)-\cos \Pi (x)}{1-\cos \Pi (c)\,\cos \Pi (x)}}\end{aligned}}$

En mettant pour $\cos \Pi (x),$ $\cos \Pi (c-x)$ leurs valeurs, il vient

$\cos \Pi (c)={\frac {\cos \Pi (a)\cos B+\cos \Pi (b)\cos A}{1+\cos \Pi (a)\cos \Pi (b)\cos A\cos B}}$

d’où résulte

$\cos \Pi (a)\cos B={\frac {\cos \Pi (c)-\cos A\cos \Pi (b)}{1-\cos A\cos \Pi (b)\cos \Pi (c)}}$

et enfin

$\sin ^{2}\Pi (c)=[1-\cos B\cos \Pi (c)\cos \Pi (a)][1-\cos A\cos \Pi (b)\cos \Pi (c)].$

On trouvera de même

(4)

${\begin{aligned}\sin ^{2}\Pi (a)&=[1-\cos C\cos \Pi (a)\cos \Pi (b)][1-\cos B\cos \Pi (c)\cos \Pi (a)],\\[0.75ex]\sin ^{2}\Pi (b)&=[1-\cos A\cos \Pi (b)\cos \Pi (c)][1-\cos C\cos \Pi (a)\cos \Pi (b)].\end{aligned}}$

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