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37 — Parmi les équations trouvées plus haut (prop. 36), il suffit de connaître les deux suivantes :

${\begin{aligned}\sin \Pi (c)&=\sin \Pi (a)\,\sin \Pi (b),\\[0.75ex]\sin \Pi (\alpha )&=\sin \Pi (b)\,\cos \Pi (\beta ),\end{aligned}}$

en appliquant la dernière aux deux côtés de l’angle droit $a$ et $b,$ pour déduire de leur combinaison les deux autres équations du n^o 35, sans qu’il y ait ambiguïté dans les signes algébriques, tous les angles étant ici aigus. On parvient d’une manière semblable aux deux équations

(1)

$\operatorname {tang} \Pi (c)=\sin \Pi (\alpha )\,\operatorname {tang} \Pi (a),$

(2)

$\cos \Pi (a)=\cos \Pi (c)\,\cos \Pi (\beta ).$

Considérons maintenant un triangle rectiligne ayant pour côtés $a,\,b,\,c$ (fig. 35), et pour angles respectivement opposés $A,\,B,\,C.$
Fig. 35 Si $A$ et $B$ sont des angles aigus, la perpendiculaire $p,$ abaissée du sommet $C$ sur le côté opposé $c,$ tombera dans l’intérieur du triangle, et partagera le côté $c$ en deux parties : soit $x$ celle de ces parties qui est adjacente à l’angle $A,$ $c-x$ celle qui est adjacente à l’angle $B.$ On formera ainsi deux triangles rectangles qui donneront, en appliquant l’équation (1), les relations

${\begin{aligned}\operatorname {tang} \Pi (a)&=\sin B\,\operatorname {tang} \Pi (p),\\[0.75ex]\operatorname {tang} \Pi (b)&=\sin A\,\operatorname {tang} \Pi (p)\,;\end{aligned}}$

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