Page:Lobatchevski - La Théorie des parallèles, 1980.djvu/52

Les deux premières de ces quatre équations sont celles que fournit la géométrie ordinaire. Les deux dernières, combinées avec les premières, conduisent à la relation

$A+B+C=\pi .$

Donc la géométrie imaginaire se change dans la géométrie ordinaire lorsque l’on suppose les côtés d’un triangle rectiligne très petits.

J’ai publié, dans les Mémoires de l’Université de Kasan quelques recherches sur la mesure des lignes courbes, des figures planes, des aires et des volumes des corps, ainsi que sur l’application de la géométrie imaginaire à l’analyse^[1].

Les équations (8) constituent par elles-mêmes une raison suffisante pour considérer comme possible l’hypothèse de la géométrie imaginaire. Il n’existe donc pas d’autre moyen que les observations astronomiques pour s’assurer de l’exactitude des calculs auxquels conduit la géométrie ordinaire. Cette exactitude s’étend très loin, comme je l’ai fait voir dans un de mes Mémoires. Ainsi, dans les triangles qui sont accessibles à nos moyens de mesure, on n’a pas encore trouvé que la somme des trois angles différât d’un centième de seconde de deux angles droits.

Il est encore à remarquer que les quatre équations (8) de la géométrie plane se changent dans les équations de la géométrie sphérique, lorsqu’on remplace les côtés $a,\,b,\,c,$ par $a{\sqrt {-1}},\,b{\sqrt {-1}},\,c{\sqrt {-1}},$ et que l’on pose en même temps

${\begin{aligned}\sin \Pi (a)&={\frac {1}{\cos a}},\\[0.75ex]\cos \Pi (a)&={\sqrt {-1}}\operatorname {tang} a,\\[0.75ex]\operatorname {tang} \Pi (a)&={\frac {1}{{\sqrt {-1}}\sin a}},\end{aligned}}$

1. Voyez aussi un Mémoire de l’auteur publié en français dans le Journal de Crelle (tome XVII, p. 295-320, 1837), sous le titre de Géométrie imaginaire. (Note du trad.)

51