Page:Lobatchevski - La Théorie des parallèles, 1980.djvu/51

On conclut des deux dernières équations

(7)

$\cos A+\cos B\cos C={\frac {\sin B\sin C}{\sin \Pi (a)}}.$

Les quatre équations qui exprimeront les relations entre les côtés $a,\,b,\,c,$ et les angles opposés $A,\,B,\,C,$ dans un triangle rectiligne seront d’après cela (équation (3), (5), (6), (7))

(8)

${\begin{aligned}&\sin A\operatorname {tang} \Pi (a)=\sin B\operatorname {tang} \Pi (b),\\[0.75ex]&\cos A\cos \Pi (b)\cos \Pi (c)+{\frac {\sin \Pi (b)\sin \Pi (c)}{\sin \Pi (a)}}=1,\\[0.75ex]&\operatorname {cot} A\sin C\sin \Pi (b)+\cos C={\frac {\cos \Pi (b)}{\cos \Pi (a)}},\\[0.75ex]&\cos A+\cos B\cos C={\frac {\sin B\sin C}{\sin \Pi (a)}}.\end{aligned}}$

Si les côtés du triangle sont très petits, on pourra se contenter des déterminations approchées (prop. 36)

${\begin{aligned}\operatorname {cot} \Pi (a)&=a,\\\sin \Pi (a)&=1-{\frac {1}{2}}a^{2},\\\cos \Pi (a)&=a\end{aligned}}$

et de même pour les autres côtés $b,\,c.$ Pour un tel triangle, les équations (8) deviennent donc

${\begin{aligned}&b\sin A=a\sin B,\\[0.75ex]&a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A,\\[0.75ex]&a\sin(A+C)=b\sin A,\\[0.75ex]&\cos A+\cos(B+C)=0.\end{aligned}}$

50