réel, sur laquelle les déterminations d’étendue se font suivant les règles ordinaires de la Géométrie analytique.
Pour que des figures de grandeur finie soient mobiles dans tous les sens sur une telle surface, sans altération de leurs mesures prises sur la surface même, et pour qu’on puisse les faire tourner autour d’un point quelconque, il faut que la surface ait dans toutes ses parties une mesure de courbure constante. Si cette mesure de courbure est positive, la surface sera une surface sphérique, ou pourra s’appliquer par flexion sans extension sur une surface sphérique. Cette sphère devient un plan, lorsque la mesure de courbure est nulle, ou, lorsqu’elle est négative, une des surfaces que le professeur Beltrami a étudiées sous le nom de surfaces pseudo-sphériques.
Riemann étend maintenant ces propositions à un nombre quelconque de dimensions ; il montre dans ce cas comment il faut déterminer la mesure de courbure. La forme la plus générale d’un espace de trois dimensions est, comme il résulte de ses recherches, une figure limitée par trois équations dans un espace à six dimensions.
Après avoir résolu le problème général, il restreint finalement la solution, en ajoutant la condition que les figures finies soient mobiles dans toutes les directions et puissent tourner dans tous les sens, sans altération de forme. Alors, la mesure de courbure d’un tel espace imaginaire doit être constante, et pour que cet espace soit infiniment étendu, il faut que cette mesure de courbure soit égale à zéro. Dans ce dernier cas, cet espace a les mêmes attributs que notre espace réel, et peut recevoir le nom d’espace plan, par comparaison avec les espaces imaginaires de dimensions plus élevées.
Mes propres recherches avec leurs résultats sont en grande partie contenues implicitement dans les recherches de Riemann. Sur un seul point, elles ajoutent quelque chose de nouveau ; c’est en ce qui concerne l’établissement du théorème de Pythagore généralisé, tel que Riemann l’emploie au début de son travail. La condition que Riemann n’introduit qu’à la fin de son étude, savoir, que les figures possèdent, sans changement de forme, le degré de mobilité que suppose la Géométrie, je l’avais introduit dès le début, et cette condition restreint alors le champ des hypothèses que l’on peut faire sur l’expression de l’élément linéaire, à ce point que la forme acceptée par
