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de chaque unité particulière à la diversité^[1] qui le constitue, c’est-à-dire de chaque point, à la mesure de $n$ grandeurs (coordonnées), variables d’une manière continue et indépendamment les unes des autres. Lorsque la connaissance de $n$ de ces quantités sera nécessaire, l’espace sera, comme l’appelle Riemann, une diversité étendue dans $n$ sens^[2], et nous dirons qu’il a $n$ dimensions.

Le système des couleurs forme aussi une diversité analogue, triplement étendue.

Or, dans l’espace, tout élément linéaire, quelle que soit sa direction, est comparable à un autre quelconque sous le rapport de la grandeur. Soient $u,\,v,\,w$ les mesures de nature quelconque qui déterminent la position d’un point, et $u+\mathrm {d} u,$ $v+\mathrm {d} v,$ $w+\mathrm {d} w$ celles qui déterminent la position d’un point voisin. La mesure de l’élément linéaire $\mathrm {d} s,$ dans notre espace réel, est toujours la racine carrée d’une fonction homogène du second degré des quantités $\mathrm {d} u,$ $\mathrm {d} v,$ $\mathrm {d} w,$ quelle que soit la nature des mesures $u,\,v,\,w.$ Nous pouvons donner à cette propriété le nom de théorème de Pythagore généralisé. Ce théorème forme la base de notre étude ; il possède un haut degré de généralité, parce qu’il est entièrement indépendant de l’établissement de tout système particulier de mesure.

Riemann admet cette expression comme hypothèse, en démontrant qu’elle est la forme algébrique la plus simple qui réponde aux conditions du problème. Mais il reconnaît expressément que c’est une hypothèse, et mentionne, comme pouvant être légitime, la supposition que $\mathrm {d} s$ soit la racine quatrième d’une fonction homogène du quatrième degré.

La suite des recherches de Riemann devient très claire, lorsqu’on se restreint à deux dimensions. Dans ce cas, il résulte déjà des recherches de Gauss sur la courbure des surfaces, que la forme la plus générale d’un espace à deux dimensions dans lequel a lieu, pour l’élément linéaire, le théorème de Pythagore sous la forme généralisée dont nous venons de parler, est une surface courbe quelconque de notre espace

1. Varietas (Gauss, Theoria residuorum biquadraticorum, Comm. 2^da, art. 38, Werke, t. II, p. 110). — Mannigfältigkeit (Gauss, Anzeige zu derselben, ibid., p. 176, 178). — (Note du trad.)
2. Eine n-fach ausgedehnte Mannigfältigkeit.

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