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tions qui existent entre les coordonnées des points pris deux à deux.

Des hypothèses 2 et 3, il résulte que, si un système solide de points $A$ peut, dans une certaine position, être amené à coïncider avec un second système $B,$ la même chose peut encore avoir lieu dans toute autre position de $A\,:$ car, de la même manière que $A$ peut être amené à sa seconde position, $B$ peut aussi y être amené.

4. Concernant l’indépendance entre la forme des corps solides et leur rotation : si un corps se meut de façon que $n-1$ de ses points restent immobiles, et que ceux-ci soient choisis de telle manière que tout autre point du corps ne puisse plus parcourir qu’une ligne, la rotation, étant prolongée, ramène sans retournement le corps à sa position initiale.

Cette dernière proposition, qui, comme le montrent nos recherches, n’est pas contenue implicitement dans les précédentes, correspond à la propriété que, dans les fonctions complexes, on appelle la monodromie.

Dès que ces trois conditions seront remplies, on en déduira, par une voie purement analytique, qu’il existe une fonction homogène du second degré des quantités $\mathrm {d} u,\,\mathrm {d} v,\,\mathrm {d} w,$ qui reste invariable dans la rotation, et qui donne ainsi une mesure de l’élément linéaire indépendante de la direction^[1].

Nous sommes ainsi parvenus au point de départ de Riemann, et l’on en conclut ensuite, d’après la méthode même suivie par ce géomètre, que si le nombre des dimensions est fixé à trois, et que l’on exige l’extension infinie de l’espace, aucune autre Géométrie n’est possible que celle qui a été enseignée par Euclide, ou celle de Lobatchewsky, qui, comme Beltrami l’a démontré, se trouve réalisée dans les surfaces pseudo-sphériques.

Le premier postulat, que Riemann aussi a établi, n’est autre chose que la définition analytique de la continuité de l’espace et de la multiplicité de son étendue.

Les postulats 2, 3, 4 doivent évidemment être supposés satisfaits pour qu’il puisse être question de superposition. Ces hypothèses sont

1. La démonstration mathématique sera donnée prochainement avec développement dans les Comptes rendus des séances de la Société Royale de Gœttingue.

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