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$1-y_{x-1}={\frac {(1-c)\,\rho _{1}\rho _{2}\rho _{3}\!\ldots \!\rho _{x-1}}{c+(1-c)\,\rho _{1}\rho _{2}\rho _{3}\!\ldots \!\rho _{x-1}}}$ ;

et ces valeurs jointes à celle de $y_{x}$ rendent identique l’équation donnée. On déterminera la constante $c$ au moyen d’une valeur particulière de $y_{x}$, et, si l’on veut, au moyen de celle qui répond à ${x=0}$ ; en prenant alors l’unité pour le produit ${\rho _{1}\rho _{2}\rho _{3}\!\ldots \!\rho _{x-1}}$, de $x$ facteurs, il en résultera ${y_{0}=q=c}$, et, pour un nombre quelconque $x$ de témoins, nous aurons ensuite

$y_{x}={\frac {q}{q+(1-q)\,\rho _{1}\rho _{2}\rho _{3}\!\ldots \!\rho _{x}}}$,

Relativement au témoin qui répond à l’indice quelconque $i$, la quantité $\rho _{i}$ est le rapport de la probabilité qu’il nous trompe à la probabilité qu’il ne nous trompe pas, de sorte qu’on a ${\rho _{i}>1}$ ou ${\rho _{i},1}$ selon que la première probabilité est supérieure ou inférieure à la seconde et ${\rho _{i}=1}$ quand elles sont égales. Si le nombre des témoins est très grand et considéré comme infini, et que $\rho _{i}$ surpasse l’unité pour tous les témoins, la probabilité $y_{x}$ de la vérité du fait qu’ils attestent sera zéro à une exception près ; et au contraire, dans ce cas de $x$ infini, cette probabilité sera l’unité ou la certitude, aussi à une exception près, lorsque $\rho _{i}$ sera moindre que l’unité pour tous les témoins. L’exception aura lieu, quand les quantités $\rho _{1}$, $\rho _{2}$, $\rho _{3}$, etc., décroîtront ou croîtront continuellement, mais en s’approchant indéfiniment de l’unité. Prenons, par exemple, pour leur terme général,

$\rho _{x}=1-{\frac {4g^{2}}{(2i-1)^{2}\,\pi ^{2}}}$,

$\pi$ désignant le rapport de la circonférence au diamètre, et $g$ une constante donnée qui ne surpassera pas l’unité, afin qu’aucune des quantités $\rho _{1}$, $\rho _{2}$, $\rho _{3}$, etc., ne soit négative. Par une formule connue, leur produit sera égal à $\cos {g}$ ; on aura donc

$y_{\infty }={\frac {q}{q+(1-q)\cos {g}}}$ ;

quantité qui différera beaucoup de l’unité, quand $g$ différera de