Page:Poisson - Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile, 1837.djvu/145

$\mathrm {K'} ={\frac {1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots m'+n'}{1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots m'{.}\,1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots n'}}$.

Si E′ était l’arrivée de $m'$ et $n'$ événements G et H dans un ordre déterminé, il faudrait remplacer $\mathrm {K'}$ par l’unité.

Lorsque avant l’observation de E, on n’aura aucune raison de croire aucune des valeurs de $x$ plus probable qu’une autre, on prendra l’unité pour la quantité $\mathrm {Y}$. Au moyen de l’intégration par partie, on a d’ailleurs

$\int _{0}^{1}x^{m}(1-x)^{n}={\frac {n\,{.}\,n-1\,{.}\,n-2\ldots 2\,{.}\,1}{m+1\,{.}\,m+2\,{.}\,m+3\ldots m+n\,{.}\,m+n+1}}$,

ou, plus simplement,

$\int _{0}^{1}x^{m}(1-x)^{n}={\frac {\mathrm {P} _{m}\mathrm {P} _{n}}{\mathrm {P} _{m+n+1}}}$,

en faisant, pour abréger,

$1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots i-1\,{.}\,i=\mathrm {P} _{i}$,

pour un nombre quelconque $i$. On aura de même

$\int _{0}^{1}x^{m+m'}(1-x)^{n+n'}={\frac {\mathrm {P} _{m+m'}\mathrm {P} _{n+n'}}{\mathrm {P} _{m+m'+n+n'+1}}}$ ;

et à cause de

$\mathrm {K'} ={\frac {\mathrm {P} _{m'+n'}}{\mathrm {P} _{m'}\mathrm {P} _{n'}}}$,

il en résultera, dans le cas dont il s’agit,

$\varpi '={\frac {\mathrm {P} _{m'+n'}\mathrm {P} _{m+m'}\mathrm {P} _{n+n'}\mathrm {P} _{m+n+1}}{\mathrm {P} _{m'}\mathrm {P} _{n'}\mathrm {P} _{m}\mathrm {P} _{n}\mathrm {P} _{m+m'+n+n'+1}}}$.

Afin que cette formule comprenne les cas où l’un des nombres $m$, $n$, $m'$, $n'$, est zéro, il y faudra faire ${\mathrm {P} _{0}=1}$. Cela étant, si l’on a ${n=0}$ et ${n'=0}$, on aura simplement

$\varpi '={\frac {m+1}{m+m'+1}}\,1$ ;