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CHAPITRE III.

Calcul des probabilités qui dépendent de très grands nombres.

(66). Lorsqu’on veut calculer le rapport des puissances très élevées de deux nombres donnés, on le peut toujours, sans difficulté, au moyen des tables logarithmiques, en employant, s’il est nécessaire, des logarithmes qui contiennent plus de décimales, que ceux dont on fait usage ordinairement. Si $a$ et $b$ sont ces deux nombres, et $m$ et $n$ leurs puissances, on aura

$\operatorname {log.} {\frac {a^{m}}{b^{n}}}={\frac {m\,{.}\operatorname {log.} {a}}{n\,{.}\operatorname {log.} {b}}}$ ;

les produits ${m\,{.}\operatorname {log.} {a}}$, ${n\,{.}\operatorname {log.} {b}}$, et leur rapport s’obtiendront aisément ; et ce rapport étant le logarithme de celui qu’on demande, on trouvera ensuite celui-ci dans les tables. Mais il n’en est plus de même, lorsqu’il s’agit du rapport de deux produits dont chacun est composé d’un très grand nombre de facteurs inégaux, tel que

${\frac {a_{1}{.}\,a_{2}{.}\,a_{3}\ldots a_{m}}{b_{1}{.}\,b_{2}{.}\,b_{3}\ldots b_{n}}}$ ;

les deux nombres $m$ et $n$ étant très grands, l’addition des logarithmes de $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$, etc., et de ceux de $b_{1}$, $b_{2}$, $b_{3}$, etc., deviendrait très pénible, et même impraticable, ainsi que le calcul de ce rapport. On est obligé alors de recourir à des méthodes d’approximation, dont Stirling a donné le premier exemple, et qui ont cela de très remarquable qu’elles introduisent, dans les valeurs approchées des rapports que l’on considère, la circonférence du cercle et d’autres quantités transcendantes, quoique leurs valeurs exactes soient des nombres en-