Page:Poisson - Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile, 1837.djvu/193

tiers, ou des fractions qui ont des nombres entiers pour numérateurs et pour dénominateurs.

Ces rapports de produits d’un très grand nombre de facteurs, et les sommes de nombres aussi très grands de semblables rapports, se présentent dans la plupart des applications les plus importantes du calcul des probabilités ; ce qui rendrait les règles exposées dans les deux chapitres précédents, bien qu’elles soient complètes, très peu utiles ou tout-à-fait illusoires, sans le secours des formules propres à en calculer les valeurs numériques avec une approximation suffisante. Ce sont ces formules dont nous allons maintenant nous occuper.

(67). Considérons d’abord le produit ${1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots n}$, des $n$ premiers nombres naturels.

Ici et dans tout ce chapitre, la lettre $e$ sera employée pour représenter la base des logarithmes népériens. Par le procédé de l’intégration par partie, on trouvera

$\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{n}dx=1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots n$.

(1)

Le coefficient ${e^{-x}x^{n}}$ de $dx$, sous cette intégrale, s’évanouit pour ${x=0}$ et pour ${x=\infty }$ ; entre ces deux limites, il ne devient jamais infini, et ne passe que par un seul maximum que l’on déterminera en égalant sa différentielle à zéro : en appelant $\mathrm {H}$ sa valeur maxima, et $h$ la valeur correspondante de $x$, on aura

$h=n$,$\mathrm {H} =e^{-h}h^{n}$.

Cela étant, on pourra poser

$e^{-x}x^{n}=\mathrm {H} e^{-t^{2}}$ ;

$t$ désignant une nouvelle variable que l’on fera croître depuis ${t=-\infty }$ jusqu’à ${t=+\infty }$, et dont les valeurs particulières ${t=-\infty }$, ${t=0}$, ${t=\infty }$, répondront respectivement à ${x=0}$, ${x=h}$, ${x=\infty }$. En regardant $x$ comme une fonction de $t$, nous aurons alors

$\int _{0}^{+\infty }e^{-x}x^{n}dx=\mathrm {H} \int _{-\infty }^{\infty }e^{-t^{2}}{\frac {dx}{dt}}dt$.