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à cause de ${\alpha ={\tfrac {q}{p}}}$, et en ayant égard à la valeur précédente de $\mathrm {H}$, on en déduit

$e^{-\theta ^{2}}=\left[{\frac {q\,(\mu +1)}{n}}\right]^{n}\left[{\frac {p\,(\mu +1)}{m+1}}\right]^{m+1}$ ;

d’où l’on tire ${\theta =\pm k}$, en faisant, pour abréger,

$k^{2}=n\log {\frac {n}{q(\mu +1)}}+(m+1)\log {\frac {m+1}{p(\mu +1)}}$.

(12)

En considérant $k$ comme une quantité positive, il faudra donc prendre ${\theta =k}$, lorsqu’on aura ${{\tfrac {q}{p}}>h}$, et ${\theta =-k}$, quand on aura ${{\tfrac {q}{p}}<h}$ ; par conséquent, d’après la transformation du numéro cité, nous aurons, dans le premier cas,

$\int _{\alpha }^{\infty }\mathrm {X} dx=\mathrm {H} \int _{k}^{\infty }e^{-t^{2}}{\frac {dx'}{dt}}\,dt$,

et, dans le second,

${\begin{aligned}\int _{\alpha }^{\infty }\mathrm {X} dx&=\mathrm {H} \int _{-k}^{\infty }e^{-t^{2}}{\frac {dx'}{dt}}\,dt\\&=\mathrm {H} \int _{-\infty }^{\infty }e^{-t^{2}}{\frac {dx'}{dt}}\,dt-\mathrm {H} \int _{-\infty }^{-k}e^{-t^{2}}{\frac {dx'}{dt}}\,dt,\end{aligned}}$

en faisant, comme dans ce n^o 67,

${\frac {dx'}{dt}}=h'+2h''t+3h'''t^{2}+{\text{etc.}}$

On a d’ailleurs

${\begin{aligned}\int _{-\infty }^{-k}e^{-t^{2}}t^{2i+1}dt&=-\int _{k}^{\infty }e^{-t^{2}}t^{2i+1}dt,\\\int _{-\infty }^{-k}e^{-t^{2}}t^{2i}dt&=\int _{k}^{\infty }e^{-t^{2}}t^{2i}dt\;;\end{aligned}}$

$i$ étant un nombre entier et positif, ou zéro. Si donc on fait généralement

$\int _{k}^{\infty }e^{-t^{2}}t^{2i}dt=\mathrm {K} _{i}$,$\int _{k}^{\infty }e^{-t^{2}}t^{2i+1}dt=\mathrm {K'} _{i}$,