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et si l’on observe que ${\textstyle \mathrm {H} \int _{-\infty }^{\infty }e^{-t^{2}}{\frac {dx'}{dt}}\,dt}$ est l’expression de ${\textstyle \int _{\alpha }^{\infty }\mathrm {X} dx}$, il en résultera

${\begin{aligned}\int _{\alpha }^{\infty }\mathrm {X} dx&=\mathrm {H} (h'\mathrm {K} _{0}+3h'''\mathrm {K} _{1}+5h^{\text{V}}\mathrm {K} _{2}+{\text{etc.}})\\&{}+\mathrm {H} (2h''\mathrm {K} '_{0}+4h^{\text{IV}}\mathrm {K} '_{1}+6h^{\text{VI}}\mathrm {K} '_{2}+{\text{etc.}}),\end{aligned}}$

(13)

pour le cas de ${{\tfrac {q}{p}}>h}$, et

${\begin{aligned}\int _{\alpha }^{\infty }\mathrm {X} dx&=\int _{0}^{\infty }\mathrm {X} dx-\mathrm {H} (h'\mathrm {K} _{0}+3h'''\mathrm {K} _{1}+5h^{\text{V}}\mathrm {K} _{2}+{\text{etc.}})\\&\qquad +\mathrm {H} (2h''\mathrm {K} '_{0}+4h^{\text{IV}}\mathrm {K} '_{1}+6h^{\text{VI}}\mathrm {K} '_{2}+{\text{etc.}}),\end{aligned}}$

(14)

pour le cas de ${{\tfrac {q}{p}}<h}$.

Chacune des séries contenues dans ces formules aura, en général, le même degré de convergence que la série (11). Les valeurs des intégrales désignées par $\mathrm {K} _{i}$ ne pourront s’obtenir que par approximation, lorsque $k$ sera différent de zéro. Celles qui sont représentées par $\mathrm {K} '_{i}$ s’exprimeront toujours sous forme finie, et l’on aura

$\mathrm {K} '_{i}={\tfrac {1}{2}}e^{-k^{2}}\!(k^{2i}{+}i{.}k^{2i-2}{+}i{.}i{-}1{.}k^{2i-4}{+}\!\ldots \!{+}i{.}i{-}1\!\ldots \!2{.}k^{2}{+}i{.}i{-1}\!\ldots \!2{.}1)$.

Quand on aura ${\alpha =h}$, les formules (13) et (14) devront coïncider. En effet, on aura en même temps

${\frac {q}{p}}={\frac {n}{m+1}}$,$q={\frac {n}{\mu +1}}$,$p={\frac {m+1}{\mu +1}}$ ;

ce qui rendra nulle la valeur de $k$ tirée de l’équation (12). Il en résultera

${\begin{alignedat}{4}&\mathrm {K} _{0}&{}={}&{\frac {\sqrt {\pi }}{2}},&\quad &\mathrm {K} _{i}&{}={}&1\,{.}\,3\,{.}\,5\ldots 2i{-}1\,{.}\,{\frac {\sqrt {\pi }}{2^{i+1}}}\\&\mathrm {K} '_{0}&{}={}&{\frac {1}{2}},&\quad &\mathrm {K} '_{i}&{}={}&1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots i\,{.}\,{\frac {1}{2^{i+1}}}\;;\end{alignedat}}$

et d’après l’équation (11), les formules (13) et (14) se réduiront l’une