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parce que la seconde intégrale s’évanouit comme étant composée d’éléments qui sont deux à deux égaux et de signes contraires, et que ceux de la première sont deux à deux égaux et de mêmes signes.

L’exposant $\mu$ étant un nombre entier et positif, je vais faire voir que cette valeur de $\mathrm {P}$ s’obtiendra toujours sous forme finie, en réduisant la puissance $\mu$ de $\sin {gx}$, en sinus ou cosinus des multiples de $gx$, au moyen des formules connues, savoir :

$\left.{\begin{aligned}&{\begin{alignedat}{2}2^{\mu }\sin ^{\mu }gx&{}={}(-1)^{{\frac {1}{2}}\mu }{\Big [}\cos {\mu gx}&&{}-{}\mu \cos(\mu -2)gx\\&&&{}+{}{\frac {\mu \,{.}\,\mu {-}1}{1\,{.}\,2}}\cos(\mu -4)gx\\&&&{}-{}{\frac {\mu \,{.}\,\mu {-}1\,{.}\,\mu {-}2}{1\,{.}\,2\,{.}\,3}}\cos(\mu -6)gx\\&&&{}+{}{\text{etc.}}{\Big ]}\end{alignedat}}\\&{\begin{alignedat}{2}2^{\mu }\sin ^{\mu }gx&{}={}(-1)^{{\frac {1}{2}}(\mu -1)}{\Big [}\sin {\mu gx}&&{}-{}\mu \sin(\mu -2)gx\\&&&{}+{}{\frac {\mu \,{.}\,\mu {-}1}{1\,{.}\,2}}\sin(\mu -4)gx\\&&&{}-{}{\frac {\mu \,{.}\,\mu {-}1\,{.}\,\mu {-}2}{1\,{.}\,2\,{.}\,3}}\sin(\mu -6)gx\\&&&{}+{}{\text{etc.}}{\Big ]}\end{alignedat}}\end{aligned}}\right\rbrace$

(7)

qui sont composées chacune d’un nombre fini de termes, et dont la première a lieu quand le nombre $\mu$ est pair, et la seconde lorsqu’il est impair.

(99). Pour cela, j’observe que l’on a, comme on sait,

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin {\gamma x}}{x}}dx=\pm {\frac {1}{2}}\pi$,

en prenant le signe supérieur ou le signe inférieur, selon que la constante $\gamma$ sera positive ou négative. Soient $\alpha$ et $\beta$, deux autres quantités positives ; mettons ${\beta x}$ et ${\beta dx}$ à la place de $x$ et $dx$, ce qui ne changera rien aux limites de l’intégrale ; nous aurons

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin {\beta \gamma x}}{x}}dx=\pm {\frac {1}{2}}\pi$ ;

et en multipliant par $d\beta$, et intégrant ensuite depuis ${\beta =1}$ jusqu’à