Page:Poisson - Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile, 1837.djvu/279

${\beta =\alpha }$, il en résultera

$\int _{0}^{\infty }(\cos {\gamma x}-\cos {\alpha \gamma x}){\frac {dx}{x^{2}}}=\mp {\frac {1}{2}}\pi (1-\alpha )\gamma$.

(8)

Cette équation subsistera évidemment pour ${\gamma =0}$, quoique celle dont elle est déduite n’ait pas lieu dans ce cas particulier. Son premier membre est la différence des deux intégrales ${\textstyle \int _{0}^{\infty }\cos {\alpha \gamma x}\,{\frac {dx}{x^{2}}}}$ et ${\textstyle \int _{0}^{\infty }\cos {\gamma x}\,{\frac {dx}{x^{2}}}}$, dont chacune a une valeur infinie. Pour cette raison, il n’est pas permis de les considérer isolément, et de changer la variable $x$ dans l’une, sans la changer dans l’autre. Ainsi, en mettant ${\tfrac {x}{\alpha }}$ et ${\tfrac {dx}{\alpha }}$ à la place de $x$ et $dx$ dans la première, elle deviendrait ${\textstyle \alpha \int _{0}^{\infty }\cos {\gamma x}\,{\frac {dx}{x^{2}}}}$ ; et en divisant les deux membres de l’équation précédente par ${1-\alpha }$, on aurait

$\int _{0}^{\infty }\cos {\gamma x}\,{\frac {dx}{x^{2}}}=\mp {\frac {1}{2}}\pi \gamma$ ;

ce qui serait absurde. La même remarque s’applique à toute intégrale, comme le premier membre de l’équation (8), qui a une valeur finie, résultante de la différence de deux intégrales infinies.

Je multiplie cette équation (8) par ${{\tfrac {2}{\pi }}d\gamma }$ ; puis j’intègre ses deux membres, en assujétissant leurs intégrales à s’évanouir quand ${\gamma =0}$ ; ce qui donne

${\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\left(\sin {\gamma x}-{\frac {\sin {\alpha \gamma x}}{\alpha }}\right){\frac {dx}{x^{3}}}=\mp (1-\alpha ){\frac {\gamma ^{2}}{1\,{.}\,2}}$.

En intégrant une seconde fois de la même manière, il vient

${\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\left(\cos {\gamma x}-{\frac {\cos {\alpha \gamma x}}{\alpha ^{2}}}+{\frac {1-\alpha ^{2}}{\alpha ^{2}}}\right){\frac {dx}{x^{4}}}=\pm (1-\alpha ){\frac {\gamma ^{3}}{1\,{.}\,2\,{.}\,3}}$ ;