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une troisième et une quatrième intégration donneront de même

${\begin{aligned}&{\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\left[\sin {\gamma x}-{\frac {\sin {\alpha \gamma x}}{\alpha ^{3}}}+{\frac {(1-\alpha ^{2})\gamma }{\alpha ^{2}}}\right]{\frac {dx}{x^{5}}}\\&\qquad =\pm (1-\alpha ){\frac {\gamma ^{4}}{1.2.3.4}},\\&{\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\left[\cos {\gamma x}-{\frac {\cos {\alpha \gamma x}}{\alpha ^{4}}}+{\frac {(1-\alpha ^{4})}{\alpha ^{4}}}+{\frac {(1-\alpha ^{2})\gamma ^{2}}{2\alpha ^{2}}}\right]{\frac {dx}{x^{6}}}\\&\qquad =\mp (1-\alpha ){\frac {\gamma ^{5}}{1.2.3.4.5}}\;;\end{aligned}}$

et en continuant ainsi, on parviendrait à des équations de cette forme

${\begin{aligned}&{\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\left[\sin {\gamma x}-{\frac {\sin {\alpha \gamma x}}{\alpha ^{\mu -1}}}+(1-\alpha )\mathrm {C} \right]{\frac {dx}{x^{\mu +1}}}\\&\qquad =\pm (-1)^{{\frac {1}{2}}\mu }(1-\alpha ){\frac {\gamma ^{\mu }}{1.2.3\!\ldots \!\mu }},\\&{\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\left[\cos {\gamma x}-{\frac {\cos {\alpha \gamma x}}{\alpha ^{\mu -1}}}+(1-\alpha )\mathrm {C} '\right]{\frac {dx}{x^{\mu +1}}}\\&\qquad =\mp (-1)^{{\frac {1}{2}}(\mu -1)}(1-\alpha ){\frac {\gamma ^{\mu }}{1.2.3\!\ldots \!\mu }}\;;\end{aligned}}$

la première répondant au cas où $\mu$ est un nombre pair, et la seconde au cas où $\mu$ est impair. Les quantités $\mathrm {C}$ et $\mathrm {C'}$ sont des constantes déterminées, qui dépendent de $\alpha$ et $\gamma$, et dont les expressions, faciles à former, nous seront inutiles à connaître.

Je mets successivement, dans chacune de ces équations, ${\gamma +\varepsilon }$ et ${\gamma -\varepsilon }$ au lieu de $\gamma$ ; et par la soustraction des résultats, j’en déduis

${\begin{aligned}&{\frac {4}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\left[\cos {\gamma x}\,\sin {\varepsilon x}-{\frac {\cos {\alpha \gamma x}\,\sin {\alpha \varepsilon x}}{\alpha ^{\mu -1}}}+(1-\alpha )\mathrm {D} \right]{\frac {dx}{x^{\mu +1}}}\\&\qquad =\pm {\frac {(-1)^{{\frac {1}{2}}\mu }(1-\alpha )}{1.2.3\!\ldots \!\mu }}[(\gamma +\varepsilon )^{\mu }-(\gamma -\varepsilon )^{\mu }],\\&{\frac {4}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\left[\sin {\gamma x}\,\sin {\varepsilon x}-{\frac {\sin {\alpha \gamma x}\,\sin {\alpha \varepsilon x}}{\alpha ^{\mu -1}}}+(1-\alpha )\mathrm {D'} \right]{\frac {dx}{x^{\mu +1}}}\\&\qquad =\pm {\frac {(-1)^{{\frac {1}{2}}(\mu -1)}(1-\alpha )}{1.2.3\!\ldots \!\mu }}[(\gamma +\varepsilon )^{\mu }-(\gamma -\varepsilon )^{\mu }]\;;\end{aligned}}$

$\mathrm {D}$ et $\mathrm {D'}$ étant des constantes différentes de $\mathrm {C}$ et $\mathrm {C'}$. Je mets encore successivement ${\gamma +(\mu -2n)g}$ et ${\gamma -(\mu -2n)g}$ à la place de $\gamma$ ; et par l’addition des résultats dans la première équation, et la soustraction