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et l’on aura en même temps

${\begin{aligned}y-cx&=(\mu k-c)x-{\frac {g\theta ^{3}}{h{\sqrt {\mu h}}}}+{\text{etc.}},\\\cos(y-cx)&=\cos(\mu k-c)x+{\frac {g\theta ^{3}}{h{\sqrt {\mu h}}}}\sin(\mu k-c)x+{\text{etc.}}\end{aligned}}$

Au moyen de ces diverses valeurs, la formule (11) devient

${\begin{aligned}\mathrm {P} &={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-\theta ^{2}}\cos(\mu k-c)x\,\sin {\varepsilon x}\,{\frac {d\theta }{\theta }}\\&+{\frac {2g}{\pi h{\sqrt {\mu h}}}}\int _{0}^{\infty }e^{-\theta ^{2}}\sin(\mu k-c)x\,\sin {\varepsilon x}{.}\theta ^{2}d\theta ,\end{aligned}}$

(12)

en négligeant les termes qui seraient divisés par $\mu$, et conservant $x$ à la place de sa valeur sous les sinus et cosinus.

Si nous prenons

$c=\mu k$,

cette formule se réduira à

$\mathrm {P} ={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-\theta ^{2}}\sin {\frac {\varepsilon \theta }{\sqrt {\mu h}}}{\frac {d\theta }{\theta }}$,

en supposant que le rapport de $\varepsilon$ à $\textstyle {\sqrt {\mu }}$ ne soit pas un grand nombre, ce qui permet de réduire la valeur de ${\varepsilon x}$ à son premier terme ${\tfrac {\varepsilon \theta }{\sqrt {\mu h}}}$. Or, $\alpha$ étant une constante indéterminée, on a, d’après une formule connue,

$\int _{0}^{\infty }e^{-\theta ^{2}}\cos {\frac {\alpha \theta }{\sqrt {\mu h}}}\,d\theta ={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}e^{-{\frac {\alpha ^{2}}{4\mu h}}}$ ;

en multipliant par ${\tfrac {d\alpha }{\sqrt {\mu h}}}$, et intégrant depuis ${\alpha =0}$ jusqu’à ${\alpha =\varepsilon }$, on en déduit

$\int _{0}^{\infty }e^{-\theta ^{2}}\sin {\frac {\varepsilon \theta }{\sqrt {\mu h}}}{\frac {d\theta }{\theta }}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{\mu h}}}\int _{0}^{\varepsilon }e^{-{\frac {\alpha ^{2}}{4\mu h}}}d\alpha$ ;

et en faisant

$\alpha =2t{\sqrt {\mu h}}$,$d\alpha =2{\sqrt {\mu h}}dt$,$\varepsilon =2u{\sqrt {\mu h}}$,