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et observant qu’on a

$\int _{0}^{u}e^{-t^{2}}dt={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}-\int _{u}^{\infty }e^{-t^{2}}dt$,

il en résultera enfin

$\mathrm {P} =1-{\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{u}^{\infty }e^{-t^{2}}dt$,

(13)

pour la probabilité que dans un très grand nombre $\mu$ d’épreuves, la somme $s$ des valeurs de A sera comprise entre les limites

$\mu k\mp 2u{\sqrt {\mu h}}$,

ou, ce qui est la même chose, pour la probabilité que les limites

$k\mp {\frac {2u{\sqrt {h}}}{\sqrt {\mu }}}$,

comprendront la valeur moyenne ${\tfrac {s}{\mu }}$ de A, résultante de ces $\mu$ épreuves successives.

(102). En donnant à $u$ une valeur peu considérable, qui rende néanmoins la formule (13) très peu différente de l’unité, on en conclura que le rapport ${\tfrac {s}{\mu }}$ différera probablement fort peu de la quantité $k$ ; et comme cette quantité représente la somme des valeurs possibles de A, multipliées par leurs chances respectives à chaque épreuve, et divisées par le nombre $\mu$ des épreuves, c’est-à-dire la somme de ces valeurs multipliées respectivement par leurs chances moyennes, il s’ensuit que cette conclusion coïncide avec la proposition du n^o 53, qui se trouve ainsi démontrée dans toute sa généralité.

Ainsi, dans un très grand nombre $\mu$ d’épreuves, il y aura toujours une probabilité très approchante de la certitude, que la valeur moyenne de A différera très peu de la quantité $k$ : la différence ${{\tfrac {s}{\mu }}-\mu }$ diminuera