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Ce cas est celui d’un point $\mathrm {M}$ qui doit tomber à chaque épreuve sur une droite dont la longueur est $2b$, et où l’on suppose toutes les positions de $\mathrm {M}$ sur cette droite également probables : $\mathrm {P}$ est alors la probabilité que dans un très grand nombre $\mu$ d’épreuves, la distance moyenne de $\mathrm {M}$ au milieu de cette droite n’excédera pas la fraction ${\tfrac {2u}{\sqrt {6\mu }}}$ de sa demi-longueur $b$. Si $\mathrm {M}$ devait tomber à chaque épreuve sur la surface d’un cercle du rayon $b$, et que l’on supposât également probables toutes les distances égales du point $\mathrm {M}$ à son centre, il est évident que la probabilité ${f_{n}zdz}$ d’une distance $z$ serait proportionnelle à $z$ ; en la supposant constante pendant les épreuves, et observant que toutes les distances possibles seraient comprises entre zéro et $b$, il faudrait prendre ${f_{n}z={\tfrac {2z}{b^{2}}}}$ pour satisfaire à la condition ${\textstyle \int _{a}^{b}f_{n}zdz=1}$ ; de cette manière, on aurait

$k_{n}=k={\frac {2b}{3}}$,$2h_{n}=2h={\frac {1}{2}}b^{2}-{\frac {4}{9}}b^{2}$ ;

et $\mathrm {P}$ serait la probabilité que dans le nombre $\mu$ d’épreuves, la moyenne des distances du point $\mathrm {M}$ au centre serait comprise entre les limites

${\frac {2b}{3}}\mp {\frac {ub}{3{\sqrt {\mu }}}}$.

(103). Quoique nous ayons supposé (n^o 97) la chose A susceptible de toutes les valeurs comprises entre les limites $a$ et $b$, mais inégalement probables, les formules que nous avons obtenues n’en sont pas moins applicables au cas où le nombre de valeurs possibles de A est limité ; et pour cela, il suffira de considérer comme des fonctions discontinues, les fonctions ${f_{1}z}$, ${f_{2}z}$, ${f_{3}z}$, etc., qui expriment les lois de probabilité des valeurs de A dans les $\mu$ épreuves successives.

Soient, en effet, $c_{1},\,c_{2},\,c_{3},\ldots c_{\nu }$, un nombre $\nu$ de valeurs de $z$ comprises entre $a$ et $b$ ; supposons que la fonction ${f_{n}z}$ soit nulle pour toutes les valeurs de $z$ qui ne sont pas infiniment peu différentes de l’une de ces quantités $c_{1},\,c_{2},\,c_{3},\ldots c_{\nu }$ ; en désignant par $\delta$ un infiniment petit, supposons aussi qu’on ait

$\int _{c_{1}-\delta }^{c_{1}+\delta }f_{n}zdz=\gamma _{1}$,$\int _{c_{2}-\delta }^{c_{2}+\delta }f_{n}zdz=\gamma _{2}$,… $\int _{c_{\nu }-\delta }^{c_{\nu }+\delta }f_{n}zdz=\gamma _{\nu }$ ;