Page:Poisson - Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile, 1837.djvu/296

les sommes $\textstyle \sum$ s’étendant au nombre $\mu$ des épreuves. Par conséquent, la formule (13) exprimera la probabilité que la somme $s$ des valeurs de A, dans cette série d’épreuves, sera comprise entre les limites ${\mu k\mp 2u{\sqrt {\mu h}}}$, dans lesquelles on mettra pour $k$ et $h$ les valeurs que l’on vient d’écrire, et qui seront faciles à calculer, quand les $\nu$ valeurs possibles de A et leurs probabilités respectives seront données pour chaque épreuve.

Si ces probabilités sont constantes et, de plus, égales entre elles ; leur valeur commune sera ${\tfrac {1}{\mu }}$, et l’on aura simplement

$k={\frac {1}{\nu }}(c_{1}+c_{2}+c_{3}+\ldots +c_{\nu })$,

$h={\frac {1}{2\nu ^{2}}}[\nu (c_{1}^{2}+c_{2}^{2}+c_{3}^{2}+\ldots +c_{\nu }^{2})-(c_{1}+c_{2}+c_{3}+\ldots +c_{\nu })^{2}]$.

Supposons, par exemple, que les valeurs possibles de A soient les six numéros marqués sur les faces d’un dé ordinaire, que l’on projette successivement un très grand nombre de fois représenté par $\mu$ ; abstraction faite de la petite inégalité qui peut exister entre les chances de ces six faces, on aura

$\nu =6$,$c_{1}=1$,$c_{2}=2$,$c_{3}=3$,$c_{4}=4$,$c_{5}=5$,$c_{6}=6$ ;

d’où il résultera

$k={\frac {7}{2}}$,$h={\frac {35}{24}}$ ;

en sorte que la formule (13) exprimera la probabilité que la somme $s$ des numéros qu’on amènera dans les $\mu$ épreuves successives, sera comprise entre les limites

${\frac {1}{2}}\left(7\mu \mp u{\sqrt {\frac {70\mu }{3}}}\right)$.

En prenant $u=$ 0,4765 et $\mu =$ 100, il sera également probable que dans 100 épreuves, la somme $s$ sera comprise en dedans ou en dehors des limites 350 ∓ 11,5.

(104). Maintenant considérons, comme dans le n^o 52, un événement E