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lorsqu’on prend

$m=\mu p-v{\sqrt {2\mu pq}}$,$n=\mu q+v{\sqrt {2\mu pq}}$ ;

$v$ étant une quantité positive ou négative, mais très petite par rapport à ${\sqrt {\mu }}$ ; et sous cette forme, elle subsiste également quand les chances de E et F varient d’une épreuve à une autre, en prenant alors, d’après la formule (2) du n^o 95, pour $p$ et $q$ les moyennes de leurs valeurs dans la série entière des $\mu$ épreuves successives.

2^o. Les événements E et F ayant eu lieu effectivement $m$ et $n$ fois dans les $\mu$ épreuves, et leurs chances $p$ et $q$ étant inconnues, soit $\mathrm {U'}$ la probabilité qu’ils arriveront dans $\mu '$ ou ${m'+n'}$ épreuves futures, des nombre de fois $m'$ et $n'$, proportionnels à $m$ et $n$, ou tels que l’on ait

$m'={\frac {\mu 'm}{\mu }}$,$n'={\frac {\mu 'n}{\mu }}$.

Quelque soit le nombre $\mu '$, on aura (n^o 71)

$\mathrm {U} '={\sqrt {\frac {\mu }{\mu +\mu '}}}\,\mathrm {U} _{\prime }$,

(b)

en représentant par $\mathrm {U} _{\prime }$ la probabilité de l’événement futur qui aurait lieu si les rapports ${\tfrac {m}{\mu }}$ et ${\tfrac {n}{\mu }}$ étaient certainement les chances de E et F, c’est-à-dire en faisant, pour abréger,

${\frac {1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots \mu '}{1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots m'\,{.}\,1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots n'}}\left({\frac {m}{\mu }}\right)^{\!m'}\left({\frac {n}{\mu }}\right)^{\!n'}=\mathrm {U_{\prime }}$

3^o. Les chances constantes $p$ et $q$ de E et F étant données, soit $\mathrm {P}$ la probabilité que dans $\mu$ ou ${m+n}$ épreuves, E arrivera au moins $m$ fois et F au plus $n$ fois. On aura (n^o 77)

$\left.{\begin{aligned}\mathrm {P} &={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{k}^{\infty }e^{-t^{2}}dt+{\frac {(\mu +n){\sqrt {2}}}{3{\sqrt {\pi \mu mn}}}}e^{-k^{2}},\\\mathrm {P} &=1-{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{k}^{\infty }e^{-t^{2}}dt+{\frac {(\mu +n){\sqrt {2}}}{3{\sqrt {\pi \mu mn}}}}e^{-k^{2}}\;;\end{aligned}}\right\rbrace$

(c)