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Les sommes des valeurs que l’on a obtenues dans ces séries successives sont $s$, $s'$, $s''$, etc. ; la quantité précédente $l$ se rapporte toujours à la première série ; et l’on désigne par $l'$, $l''$, etc., ce qu’elle devient à l’égard des séries suivantes. On suppose que les causes d’erreurs dans les mesures varient d’une série à une autre, mais que néanmoins, toutes les moyennes ${\tfrac {s}{\mu }}$, ${\tfrac {s'}{\mu '}}$, ${\tfrac {s''}{\mu ''}}$, etc., convergent indéfiniment, à mesure que $\mu$, $\mu '$, $\mu ''$, etc., augmentent de plus en plus, vers une même quantité inconnue $\gamma$, qui serait la véritable valeur de A, si ces causes ne rendaient pas inégalement probables, dans une où plusieurs des séries d’observations, les erreurs égales et de signes contraires. Cela posé, la formule (k) exprimera encore la probabilité que la quantité y est comprise entre les limites (n^o 108) :

${\frac {sq}{\mu }}+{\frac {s'q'}{\mu '}}+{\frac {s''q''}{\mu }}+{\text{etc.}}\mp {\frac {u}{\mathrm {D} }}$,

dans lesquelles on a fait, pour abréger,

${\frac {\mu }{l^{2}}}+{\frac {\mu '}{l'^{2}}}+{\frac {\mu ''}{l''^{2}}}+{\text{etc.}}=\mathrm {D} ^{2}$,

${\frac {\mu }{\mathrm {D} ^{2}l^{2}}}=q$,${\frac {\mu '}{\mathrm {D} ^{2}l'^{2}}}=q'$,${\frac {\mu ''}{\mathrm {D} ^{2}l''^{2}}}=q''$, etc.

De plus, la partie ${\textstyle {\frac {sq}{\mu }}+{\frac {s'q'}{\mu '}}+{\frac {s''q''}{\mu }}+{\text{etc.}}}$, c’est-à-dire la somme des moyennes ${\tfrac {s}{\mu }}$, ${\tfrac {s'}{\mu '}}$, ${\tfrac {s''}{\mu ''}}$, etc., multipliées respectivement par les quantités $q$, $q'$, $q''$, etc., sera la valeur approchée de \gamma la plus avantageuse que l’on puisse déduire du concours de toutes les séries d’observations, c’est-à-dire, la valeur de cette inconnue, dont les limites d’erreur ${\mp {\tfrac {u}{\mathrm {D} }}}$ auront la moindre étendue qu’il est possible, pour un valeur donnée de $u$, ou bien à égal degré de probabilité.

13^o. Enfin, les causes de l’arrivée d’un événement E demeurant les mêmes pendant les épreuves, ainsi qu’on l’a expliqué en citant la formule (f), le rapport ${\tfrac {m}{\mu }}$ du nombre de fois que E aura lieu au nombre