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et en la désignant par $\mathrm {H} _{i}$, son expression pourra s’écrire sous cette forme

$\mathrm {H} _{i}={\frac {1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots 2i+2[u(1-u)]^{i+1}}{(1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots i+1)^{2}}}$.

Le maximum du produit ${u(1-u)}$ répond à ${u={\tfrac {1}{2}}}$, et est égal à ${\tfrac {1}{4}}$. Cette probabilité $\mathrm {H} _{i}$ diminuera donc à mesure que $m$ s’écartera davantage de ${\tfrac {1}{2}}$. Elle diminuera aussi continuellement à mesure que $i$ augmentera ; car on déduit de son expression

$\mathrm {H} _{i+1}={\frac {2i+3\,{.}\,2i+4\,{.}\,u(1-u)}{(i+1)^{2}}}\mathrm {H} _{i}$ ;

et d’après le maximum ${\tfrac {1}{4}}$ de ${u(1-u)}$, on en conclut que le rapport de $\mathrm {H} _{i+1}$ à $\mathrm {H} _{i}$ sera toujours moindre que l’unité : la plus grande valeur de $\mathrm {H} _{i}$ répondra à ${u={\tfrac {1}{2}}}$ et ${i=0}$, et sera égale à ${\tfrac {1}{2}}$.

Quand ${i+1}$ sera un grand nombre, on aura (n^o 67)

${\begin{aligned}&1.2.3\ldots i{+}1=(i{+}1)^{i+1}e^{-(i+1)}{\sqrt {2\pi (i{+}1)}}\left[1+{\frac {1}{12(i{+}1)}}+{\text{etc.}}\right],\\&1.2.3\ldots 2i{+}2=(2i{+}2)^{2i+2}e^{-(2i+2)}{\sqrt {2\pi (2i{+}2)}}\left[1+{\frac {1}{12(2i{+}2)}}+{\text{etc.}}\right]\;;\end{aligned}}$

d’où l’on tire

$\mathrm {H} _{i}={\frac {[4u(1-u)]^{i+1}}{\sqrt {\pi (i+1)}}}\left[1-{\frac {1}{8(i+1)}}+{\text{etc.}}\right]$,

pour la valeur approchée de $\mathrm {H} _{i}$, qui sera, comme on voit, une très petite fraction, lorsque $u$ différera notablement de ${\tfrac {1}{2}}$, ou ${4u(1-u)}$ de l’unité. Dans le cas de ${u={\tfrac {1}{2}}}$, et en prenant pour exemple ${i+1=6}$ ou ${n=12}$, cette formule, réduite à ses deux premiers termes, donne 230,94…/1024 pour cette valeur ; ce qui diffère très peu de la valeur 231/1024, quoique ${i+1}$ ne soit pas un nombre fort considérable.

La somme ${\mathrm {U} _{i}+\mathrm {V} _{i}}$ étant tout au plus égale à l’unité, si on la désigne par $\mathrm {G} _{i}$, la différence ${1-\mathrm {G} _{i}}$ sera positive ou zéro ; et comme