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que $\mathrm {V} _{i}$ sera zéro quand on aura ${u>v}$, et l’unité dans le cas de ${u<v}$. De là, on conclut que, si la probabilité $k$ de la culpabilité de l’accuse avant le jugement, n’est pas une très petite fraction, il y aura une probabilité $\mathrm {P} _{i}$ très approchante de la certitude, pour sa culpabilité après qu’il aura été condamné par un jury composé d’un très grand nombre $n$ de jurés, si la chance $v$ de l’erreur de chaque juré est notablement moindre que la chance contraire $u$ ; résultat qui tient à ce que ce grand nombre $n$, rend alors très peu probable que le jugement soit prononcé à une faible majorité. Au contraire, cette probabilité $\mathrm {P} _{i}$, de la bonté d’un jugement, sera une très petite fraction, et l’innocence de l’accusé, très probable, si c’est $u$ qui est sensiblement moindre que $v$, et que, de plus, $k$ ne soit pas une fraction très approchante de l’unité. Les probabilités $c_{i}$ de la condamnation et $d_{i}$ de l’acquittement, données par les formules (6), seront très peu différentes de $k$ et ${1-k}$, quand $u$ surpassera $v$, ou, au contraire, de ${1-k}$ et $k$ lorsqu’on aura ${v>u}$.

Dans le cas de ${u=v={\tfrac {1}{2}}}$, et en faisant ${n=2i+1}$ ou ${n=2i+2}$, selon que $n$ sera impair ou pair, le rapport ${\tfrac {i}{n+1-i}}$ sera un peu moindre que ${\tfrac {v}{u}}$, ou que l’unité ; il faudra donc employer la première formule (11) ; et comme la valeur de $\theta$ sera une très petite fraction, on aura, à très peu près,

$\mathrm {U} _{i}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\sqrt {\pi i}}}-{\frac {\theta }{\sqrt {\pi }}}$,

en négligeant le carré de $\theta$, ainsi que les termes qui auraient $i$ pour diviseur, et observant qu’on a alors

$\int _{\theta }^{\infty }e^{-x^{2}}dx={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}-\theta$.

Si $n$ est impair, que l’on fasse ${n=2i+1}$, et qu’on mette ${\tfrac {1}{2}}$ pour $u$ et $v$, on aura

$\theta ^{2}=-i\log \left(1+{\frac {1}{i}}\right)-(i+2)\log \left(1-{\frac {1}{i+2}}\right)$ ;

en développant les logarithmes en séries, on en déduit, au degré