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depuis zéro jusqu’à ${m-1}$ pour $m'$, et depuis zéro jusqu’à ${n-1}$ pour $n'$, le produit des ${m+n}$ quantités qu’on obtiendra de cette manière, devra évidemment former la valeur de $\varpi$ ; ce qui coïncidera avec la formule que l’on vient d’écrire.

Si l’on remettait à chaque fois dans A la boule blanche ou noire qui en est sortie, les chances d’une boule blanche et d’une boule noire demeureraient constantes et égales à ${\tfrac {a}{c}}$ et ${\tfrac {b}{c}}$, pendant toutes les épreuves, et la probabilité d’amener $m$ boules blanches et $n$ boules noires, dans un ordre déterminé, serait le produit de $\left({\tfrac {a}{c}}\right)^{m}$ et $\left({\tfrac {b}{c}}\right)^{n}$, ou ${\tfrac {a^{m}b^{n}}{c^{m+n}}}$. C’est à quoi se réduit effectivement l’expression de $\varpi$, quand les nombres $a$ et $h$ sont extrêmement grands, et peuvent être considérés comme infinis, par rapport à $m$ et $n$, ce qui rend invariables les chances d’une boule blanche et d’une boule noire, pendant toute la durée des épreuves.

En faisant ${n=0}$ dans la valeur de $\varpi$, il en résulte

$\varpi ={\frac {a\,{.}\,a-1\,{.}\,a-2\ldots a-m+1}{c\,{.}\,c-1\,{.}\,c-2\ldots c-m+1}}$,

pour la probabilité de l’extraction de $m$ boules blanches sans interruption. Au lieu d’une urne A, si l’on avait, par exemple un jeu composé de seize cartes rouges et autant de cartes noires, et si l’on demandait la probabilité d’en tirer les seize cartes rouges en seize tirages, on ferait

$a$ = 16,$c$ = 52,$m$ = 16,

et il en résulterait

$\varpi$ = 1.2.3.….15.16/17.18.19…31.32,

ou bien, en réduisant

$\varpi$ = 1/601080390 ;

quantité, comme on voit, un peu au-dessous d’un six-cent millionième. Il faudrait, en conséquence, essayer un peu plus de six-cent millions fois pour qu’il y eût une probabilité égale à 2/3, ou à peu